MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quotlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quotlem 24816
Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
quotlem.8 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)))
Assertion
Ref Expression
quotlem (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem quotlem
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plydiv.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plydiv.z . . . . 5 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
4 eqid 2818 . . . . . 6 (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
54quotval 24808 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
61, 2, 3, 5syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7 plydiv.pl . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8 plydiv.tm . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
9 plydiv.rc . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
10 plydiv.m1 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
117, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4plydivalg 24815 . . . . . 6 (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
12 reurex 3429 . . . . . 6 (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
14 addcl 10607 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
1514adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
16 mulcl 10609 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
1716adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
18 reccl 11293 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
1918adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
20 neg1cn 11739 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22 plyssc 24717 . . . . . . 7 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2322, 1sseldi 3962 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
2422, 2sseldi 3962 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
2515, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4plydivalg 24815 . . . . 5 (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
26 id 22 . . . . . . 7 (((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
2726rgenw 3147 . . . . . 6 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
28 riotass2 7133 . . . . . 6 ((((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
2922, 27, 28mpanl12 698 . . . . 5 ((∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
3013, 25, 29syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
316, 30eqtr4d 2856 . . 3 (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
32 riotacl2 7119 . . . 4 (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
3311, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
3431, 33eqeltrd 2910 . 2 (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
35 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐺f · 𝑞) = (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)))
3635oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺))))
37 quotlem.8 . . . . . 6 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)))
3836, 37syl6eqr 2871 . . . . 5 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 𝑅)
3938eqeq1d 2820 . . . 4 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝𝑅 = 0𝑝))
4038fveq2d 6667 . . . . 5 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
4140breq1d 5067 . . . 4 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
4239, 41orbi12d 912 . . 3 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
4342elrab 3677 . 2 ((𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))} ↔ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
4434, 43sylib 219 1 (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  ∃!wreu 3137  {crab 3139  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  crio 7102  (class class class)co 7145  f cof 7396  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  0𝑝c0p 24197  Polycply 24701  degcdgr 24704   quot cquot 24806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-0p 24198  df-ply 24705  df-coe 24707  df-dgr 24708  df-quot 24807
This theorem is referenced by:  quotcl  24817  quotdgr  24819
  Copyright terms: Public domain W3C validator