MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quotlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quotlem 23803
Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
quotlem.8 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
Assertion
Ref Expression
quotlem (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem quotlem
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plydiv.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plydiv.z . . . . 5 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
4 eqid 2609 . . . . . 6 (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
54quotval 23795 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
61, 2, 3, 5syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7 plydiv.pl . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8 plydiv.tm . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
9 plydiv.rc . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
10 plydiv.m1 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
117, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4plydivalg 23802 . . . . . 6 (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
12 reurex 3136 . . . . . 6 (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
14 addcl 9874 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
1514adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
16 mulcl 9876 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
1716adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
18 reccl 10543 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
1918adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
20 neg1cn 10973 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22 plyssc 23704 . . . . . . 7 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2322, 1sseldi 3565 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
2422, 2sseldi 3565 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
2515, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4plydivalg 23802 . . . . 5 (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
26 id 22 . . . . . . 7 (((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
2726rgenw 2907 . . . . . 6 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
28 riotass2 6514 . . . . . 6 ((((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
2922, 27, 28mpanl12 713 . . . . 5 ((∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
3013, 25, 29syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
316, 30eqtr4d 2646 . . 3 (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
32 riotacl2 6501 . . . 4 (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
3311, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
3431, 33eqeltrd 2687 . 2 (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
35 oveq2 6534 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐺𝑓 · 𝑞) = (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
3635oveq2d 6542 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))))
37 quotlem.8 . . . . . 6 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
3836, 37syl6eqr 2661 . . . . 5 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 𝑅)
3938eqeq1d 2611 . . . 4 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝𝑅 = 0𝑝))
4038fveq2d 6091 . . . . 5 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
4140breq1d 4587 . . . 4 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
4239, 41orbi12d 741 . . 3 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
4342elrab 3330 . 2 ((𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))} ↔ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
4434, 43sylib 206 1 (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  ∃!wreu 2897  {crab 2899  wss 3539   class class class wbr 4577  cfv 5789  crio 6487  (class class class)co 6526  𝑓 cof 6770  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10535  0𝑝c0p 23186  Polycply 23688  degcdgr 23691   quot cquot 23793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213  df-0p 23187  df-ply 23692  df-coe 23694  df-dgr 23695  df-quot 23794
This theorem is referenced by:  quotcl  23804  quotdgr  23806
  Copyright terms: Public domain W3C validator