MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qus1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qus1 19936
Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring.u 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qus1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
qus1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈)))

Proof of Theorem qus1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusring.u . . 3 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
21a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
3 eqid 2818 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
5 eqid 2818 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
6 eqid 2818 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7 qus1.o . 2 1 = (1r𝑅)
8 eqid 2818 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9 eqid 2818 . . . . . . 7 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
10 eqid 2818 . . . . . . 7 (LIdeal‘(oppr𝑅)) = (LIdeal‘(oppr𝑅))
11 qusring.i . . . . . . 7 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
128, 9, 10, 112idlval 19934 . . . . . 6 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
1312elin2 4171 . . . . 5 (𝑆𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))))
1413simplbi 498 . . . 4 (𝑆𝐼𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
158lidlsubg 19916 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
1614, 15sylan2 592 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
17 eqid 2818 . . . 4 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
183, 17eqger 18268 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
1916, 18syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
20 ringabl 19259 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2120adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
22 ablnsg 18896 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
2416, 23eleqtrrd 2913 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
253, 17, 5eqgcpbl 18272 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g𝑅)𝑑)))
2624, 25syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g𝑅)𝑑)))
273, 17, 11, 62idlcpbl 19935 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
28 simpl 483 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
292, 4, 5, 6, 7, 19, 26, 27, 28qusring2 19299 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145   Er wer 8275  [cec 8276  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554   /s cqus 16766  SubGrpcsubg 18211  NrmSGrpcnsg 18212   ~QG cqg 18213  Abelcabl 18836  1rcur 19180  Ringcrg 19226  opprcoppr 19301  LIdealclidl 19871  2Idealc2idl 19932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-0g 16703  df-imas 16769  df-qus 16770  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875  df-2idl 19933
This theorem is referenced by:  qusring  19937  qusrhm  19938
  Copyright terms: Public domain W3C validator