MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quscrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quscrng 19003
Description: The quotient of a commutative ring by an ideal is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quscrng.u 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
quscrng.i 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
quscrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ CRing)

Proof of Theorem quscrng
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 18323 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 479 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
3 simpr 475 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆𝐼)
4 quscrng.i . . . . . 6 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
54crng2idl 19002 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (2Ideal‘𝑅))
65adantr 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝐼 = (2Ideal‘𝑅))
73, 6eleqtrd 2685 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅))
8 quscrng.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
9 eqid 2605 . . . 4 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
108, 9qusring 18999 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Ring)
112, 7, 10syl2anc 690 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ Ring)
128a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
13 eqidd 2606 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
14 ovex 6551 . . . . . . . 8 (𝑅 ~QG 𝑆) ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) ∈ V)
1612, 13, 15, 2qusbas 15970 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = (Base‘𝑈))
1716eleq2d 2668 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑈)))
1816eleq2d 2668 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)))
1917, 18anbi12d 742 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))))
20 eqid 2605 . . . . . 6 ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) = ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))
21 oveq2 6531 . . . . . . 7 ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = (𝑥(.r𝑈)𝑦))
22 oveq1 6530 . . . . . . 7 ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥) = (𝑦(.r𝑈)𝑥))
2321, 22eqeq12d 2620 . . . . . 6 ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑦 → ((𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥) ↔ (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥)))
24 oveq1 6530 . . . . . . . . 9 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)))
25 oveq2 6531 . . . . . . . . 9 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥))
2624, 25eqeq12d 2620 . . . . . . . 8 ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆) = 𝑥 → (([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) ↔ (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥)))
27 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
28 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . 13 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2927, 28crngcom 18327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
30293adant1r 1310 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
31303expa 1256 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
3231eceq1d 7643 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → [(𝑢(.r𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆) = [(𝑣(.r𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
334lidlsubg 18978 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
341, 33sylan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
35 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
3627, 35eqger 17409 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
3827, 35, 9, 282idlcpbl 18997 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
392, 7, 38syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
4027, 28ringcl 18326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
41403expb 1257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
422, 41sylan 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
43 eqid 2605 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑈) = (.r𝑈)
4412, 13, 37, 2, 39, 42, 28, 43qusmulval 15980 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑢(.r𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
45443expa 1256 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑢(.r𝑅)𝑣)](𝑅 ~QG 𝑆))
4612, 13, 37, 2, 39, 42, 28, 43qusmulval 15980 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
47463expa 1256 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
4847an32s 841 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑣(.r𝑅)𝑢)](𝑅 ~QG 𝑆))
4932, 45, 483eqtr4rd 2650 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → ([𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑣](𝑅 ~QG 𝑆)))
5020, 26, 49ectocld 7674 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥))
5150an32s 841 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑈)[𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)) = ([𝑢](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)𝑥))
5220, 23, 51ectocld 7674 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥))
5352expl 645 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑆))) → (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥)))
5419, 53sylbird 248 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥)))
5554ralrimivv 2948 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥))
56 eqid 2605 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5756, 43iscrng2 18328 . 2 (𝑈 ∈ CRing ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑦(.r𝑈)𝑥)))
5811, 55, 57sylanbrc 694 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  Vcvv 3168   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523   Er wer 7599  [cec 7600   / cqs 7601  Basecbs 15637  .rcmulr 15711   /s cqus 15930  SubGrpcsubg 17353   ~QG cqg 17355  Ringcrg 18312  CRingccrg 18313  LIdealclidl 18933  2Idealc2idl 18994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-ec 7604  df-qs 7608  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-0g 15867  df-imas 15933  df-qus 15934  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-nsg 17357  df-eqg 17358  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-subrg 18543  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-lidl 18937  df-rsp 18938  df-2idl 18995
This theorem is referenced by:  zncrng2  19642
  Copyright terms: Public domain W3C validator