MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusghm 18333
Description: If 𝑌 is a normal subgroup of 𝐺, then the "natural map" from elements to their cosets is a group homomorphism from 𝐺 to 𝐺 / 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusghm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
qusghm.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
qusghm.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
Assertion
Ref Expression
qusghm (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusghm.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2818 . 2 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3 eqid 2818 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2818 . 2 (+g𝐻) = (+g𝐻)
5 nsgsubg 18248 . . 3 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 subgrcl 18222 . . 3 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . 2 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
8 qusghm.h . . 3 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
98qusgrp 18273 . 2 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
108, 1, 2quseccl 18274 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
11 qusghm.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
1210, 11fmptd 6870 . 2 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝐻))
138, 1, 3, 4qusadd 18275 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
14133expb 1112 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
15 eceq1 8316 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
16 ovex 7178 . . . . . . 7 (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
17 ecexg 8282 . . . . . . 7 ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . 6 [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
1915, 11, 18fvmpt3i 6766 . . . . 5 (𝑦𝑋 → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
2019ad2antrl 724 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
21 eceq1 8316 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
2221, 11, 18fvmpt3i 6766 . . . . 5 (𝑧𝑋 → (𝐹𝑧) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
2322ad2antll 725 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑧) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
2420, 23oveq12d 7163 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝐹𝑦)(+g𝐻)(𝐹𝑧)) = ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)))
251, 3grpcl 18049 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
26253expb 1112 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
277, 26sylan 580 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
28 eceq1 8316 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
2928, 11, 18fvmpt3i 6766 . . . 4 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋 → (𝐹‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
3027, 29syl 17 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
3114, 24, 303eqtr4rd 2864 . 2 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(+g𝐻)(𝐹𝑧)))
321, 2, 3, 4, 7, 9, 12, 31isghmd 18305 1 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  [cec 8276  Basecbs 16471  +gcplusg 16553   /s cqus 16766  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  NrmSGrpcnsg 18212   ~QG cqg 18213   GrpHom cghm 18293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-0g 16703  df-imas 16769  df-qus 16770  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216  df-ghm 18294
This theorem is referenced by:  qusrhm  19938  quslmhm  30851
  Copyright terms: Public domain W3C validator