MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusmulf 16210
Description: The base set of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusaddf.u (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
qusaddf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
qusaddf.r (𝜑 Er 𝑉)
qusaddf.z (𝜑𝑅𝑍)
qusaddf.e (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
qusaddf.c ((𝜑 ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
qusmulf.p · = (.r𝑅)
qusmulf.a = (.r𝑈)
Assertion
Ref Expression
qusmulf (𝜑 :((𝑉 / ) × (𝑉 / ))⟶(𝑉 / ))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusmulf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusaddf.u . 2 (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
2 qusaddf.v . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 qusaddf.r . 2 (𝜑 Er 𝑉)
4 qusaddf.z . 2 (𝜑𝑅𝑍)
5 qusaddf.e . 2 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
6 qusaddf.c . 2 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
7 eqid 2621 . 2 (𝑥𝑉 ↦ [𝑥] ) = (𝑥𝑉 ↦ [𝑥] )
8 fvex 6199 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
92, 8syl6eqel 2708 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
10 erex 7763 . . . . 5 ( Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∈ V))
113, 9, 10sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
121, 2, 7, 11, 4qusval 16196 . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥] ) “s 𝑅))
131, 2, 7, 11, 4quslem 16197 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑉 ↦ [𝑥] ):𝑉onto→(𝑉 / ))
14 qusmulf.p . . 3 · = (.r𝑅)
15 qusmulf.a . . 3 = (.r𝑈)
1612, 2, 13, 4, 14, 15imasmulr 16172 . 2 (𝜑 = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨((𝑥𝑉 ↦ [𝑥] )‘𝑝), ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥] )‘𝑞)⟩, ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥] )‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16qusaddflem 16206 1 (𝜑 :((𝑉 / ) × (𝑉 / ))⟶(𝑉 / ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  Vcvv 3198   class class class wbr 4651  cmpt 4727   × cxp 5110  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647   Er wer 7736  [cec 7737   / cqs 7738  Basecbs 15851  .rcmulr 15936   /s cqus 16159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-ec 7741  df-qs 7745  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-fz 12324  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-imas 16162  df-qus 16163
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator