MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusmulval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusmulval 16196
Description: The base set of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusaddf.u (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
qusaddf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
qusaddf.r (𝜑 Er 𝑉)
qusaddf.z (𝜑𝑅𝑍)
qusaddf.e (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
qusaddf.c ((𝜑 ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
qusmulf.p · = (.r𝑅)
qusmulf.a = (.r𝑈)
Assertion
Ref Expression
qusmulval ((𝜑𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋] [𝑌] ) = [(𝑋 · 𝑌)] )
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑌,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusmulval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusaddf.u . 2 (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
2 qusaddf.v . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 qusaddf.r . 2 (𝜑 Er 𝑉)
4 qusaddf.z . 2 (𝜑𝑅𝑍)
5 qusaddf.e . 2 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
6 qusaddf.c . 2 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
7 eqid 2620 . 2 (𝑥𝑉 ↦ [𝑥] ) = (𝑥𝑉 ↦ [𝑥] )
8 fvex 6188 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
92, 8syl6eqel 2707 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
10 erex 7751 . . . . 5 ( Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∈ V))
113, 9, 10sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
121, 2, 7, 11, 4qusval 16183 . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥] ) “s 𝑅))
131, 2, 7, 11, 4quslem 16184 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑉 ↦ [𝑥] ):𝑉onto→(𝑉 / ))
14 qusmulf.p . . 3 · = (.r𝑅)
15 qusmulf.a . . 3 = (.r𝑈)
1612, 2, 13, 4, 14, 15imasmulr 16159 . 2 (𝜑 = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨((𝑥𝑉 ↦ [𝑥] )‘𝑝), ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥] )‘𝑞)⟩, ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥] )‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16qusaddvallem 16192 1 ((𝜑𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋] [𝑌] ) = [(𝑋 · 𝑌)] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195   class class class wbr 4644  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635   Er wer 7724  [cec 7725   / cqs 7726  Basecbs 15838  .rcmulr 15923   /s cqus 16146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-ec 7729  df-qs 7733  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-imas 16149  df-qus 16150
This theorem is referenced by:  qusrhm  19218  quscrng  19221
  Copyright terms: Public domain W3C validator