MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusrhm 19156
Description: If 𝑆 is a two-sided ideal in 𝑅, then the "natural map" from elements to their cosets is a ring homomorphism from 𝑅 to 𝑅 / 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring.u 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qusrhm.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
qusrhm.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))
Assertion
Ref Expression
qusrhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusrhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusrhm.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2621 . 2 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 eqid 2621 . 2 (1r𝑈) = (1r𝑈)
4 eqid 2621 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2621 . 2 (.r𝑈) = (.r𝑈)
6 simpl 473 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
7 qusring.u . . 3 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
8 qusring.i . . 3 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
97, 8qusring 19155 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ Ring)
10 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
12 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘(oppr𝑅)) = (LIdeal‘(oppr𝑅))
1310, 11, 12, 82idlval 19152 . . . . . . . 8 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
1413elin2 3779 . . . . . . 7 (𝑆𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))))
1514simplbi 476 . . . . . 6 (𝑆𝐼𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
1610lidlsubg 19134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
1715, 16sylan2 491 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
191, 18eqger 17565 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
2017, 19syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
21 fvex 6158 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
221, 21eqeltri 2694 . . . . 5 𝑋 ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑋 ∈ V)
24 qusrhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))
2520, 23, 24divsfval 16128 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆))
267, 8, 2qus1 19154 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈)))
2726simprd 479 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈))
2825, 27eqtrd 2655 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑈))
297a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
301a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑋 = (Base‘𝑅))
311, 18, 8, 42idlcpbl 19153 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
321, 4ringcl 18482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
33323expb 1263 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
3433adantlr 750 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
3534caovclg 6779 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ 𝑋)
3629, 30, 20, 6, 31, 35, 4, 5qusmulval 16136 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
37363expb 1263 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
3820adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
3922a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
4038, 39, 24divsfval 16128 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝑅 ~QG 𝑆))
4138, 39, 24divsfval 16128 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑧) = [𝑧](𝑅 ~QG 𝑆))
4240, 41oveq12d 6622 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝐹𝑦)(.r𝑈)(𝐹𝑧)) = ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)))
4338, 39, 24divsfval 16128 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = [(𝑦(.r𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
4437, 42, 433eqtr4rd 2666 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑈)(𝐹𝑧)))
45 ringabl 18501 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
4645adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
47 ablnsg 18171 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
4846, 47syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
4917, 48eleqtrrd 2701 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
501, 7, 24qusghm 17618 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
5149, 50syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
521, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 28, 44, 51isrhm2d 18649 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604   Er wer 7684  [cec 7685  Basecbs 15781  .rcmulr 15863   /s cqus 16086  SubGrpcsubg 17509  NrmSGrpcnsg 17510   ~QG cqg 17511   GrpHom cghm 17578  Abelcabl 18115  1rcur 18422  Ringcrg 18468  opprcoppr 18543   RingHom crh 18633  LIdealclidl 19089  2Idealc2idl 19150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-0g 16023  df-imas 16089  df-qus 16090  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-nsg 17513  df-eqg 17514  df-ghm 17579  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-rnghom 18636  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-lidl 19093  df-2idl 19151
This theorem is referenced by:  znzrh2  19813
  Copyright terms: Public domain W3C validator