MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusring2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusring2 18391
Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring2.u (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
qusring2.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
qusring2.p + = (+g𝑅)
qusring2.t · = (.r𝑅)
qusring2.o 1 = (1r𝑅)
qusring2.r (𝜑 Er 𝑉)
qusring2.e1 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
qusring2.e2 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
qusring2.x (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
qusring2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   1 ,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑈   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   1 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusring2
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusring2.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
2 qusring2.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2609 . . . 4 (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) = (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )
4 qusring2.r . . . . 5 (𝜑 Er 𝑉)
5 fvex 6097 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
62, 5syl6eqel 2695 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
7 erex 7630 . . . . 5 ( Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∈ V))
84, 6, 7sylc 62 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
9 qusring2.x . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
101, 2, 3, 8, 9qusval 15973 . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) “s 𝑅))
11 qusring2.p . . 3 + = (+g𝑅)
12 qusring2.t . . 3 · = (.r𝑅)
13 qusring2.o . . 3 1 = (1r𝑅)
141, 2, 3, 8, 9quslem 15974 . . 3 (𝜑 → (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ):𝑉onto→(𝑉 / ))
159adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simprl 789 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥𝑉)
172adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
1816, 17eleqtrd 2689 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19 simprr 791 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦𝑉)
2019, 17eleqtrd 2689 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21 eqid 2609 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2221, 11ringacl 18349 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2315, 18, 20, 22syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2423, 17eleqtrrd 2690 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
25 qusring2.e1 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
264, 6, 3, 24, 25ercpbl 15980 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 + 𝑞))))
2721, 12ringcl 18332 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2815, 18, 20, 27syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
2928, 17eleqtrrd 2690 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑉)
30 qusring2.e2 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
314, 6, 3, 29, 30ercpbl 15980 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 · 𝑞))))
3210, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9imasring 18390 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈)))
334, 6, 3divsfval 15978 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = [ 1 ] )
3433eqcomd 2615 . . . 4 (𝜑 → [ 1 ] = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ))
3534eqeq1d 2611 . . 3 (𝜑 → ([ 1 ] = (1r𝑈) ↔ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈)))
3635anbi2d 735 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Ring ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 1 ) = (1r𝑈))))
3732, 36mpbird 245 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ] = (1r𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5789  (class class class)co 6526   Er wer 7603  [cec 7604   / cqs 7605  Basecbs 15643  +gcplusg 15716  .rcmulr 15717   /s cqus 15936  1rcur 18272  Ringcrg 18318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-ec 7608  df-qs 7612  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-0g 15873  df-imas 15939  df-qus 15940  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320
This theorem is referenced by:  qus1  19004
  Copyright terms: Public domain W3C validator