MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1funlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1funlim 8710
Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 8711 avoids ax-rep 4847.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1funlim (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Proof of Theorem r1funlim
StepHypRef Expression
1 rdgfun 7600 . . 3 Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2 df-r1 8708 . . . 4 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
32funeqi 5990 . . 3 (Fun 𝑅1 ↔ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
41, 3mpbir 221 . 2 Fun 𝑅1
5 rdgdmlim 7601 . . 3 Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
62dmeqi 5400 . . . 4 dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
7 limeq 5816 . . . 4 (dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)))
86, 7ax-mp 5 . . 3 (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
95, 8mpbir 221 . 2 Lim dom 𝑅1
104, 9pm3.2i 470 1 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1564  Vcvv 3272  c0 3991  𝒫 cpw 4234  cmpt 4805  dom cdm 5186  Lim wlim 5805  Fun wfun 5963  reccrdg 7593  𝑅1cr1 8706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-r1 8708
This theorem is referenced by:  r1limg  8715  r1fin  8717  r1tr  8720  r1ordg  8722  r1ord3g  8723  r1pwss  8728  r1val1  8730  rankwflemb  8737  r1elwf  8740  rankr1ai  8742  rankdmr1  8745  rankr1ag  8746  rankr1bg  8747  r1elssi  8749  pwwf  8751  unwf  8754  rankr1clem  8764  rankr1c  8765  rankval3b  8770  rankonidlem  8772  onssr1  8775  rankeq0b  8804  ackbij2  9146  wunom  9623
  Copyright terms: Public domain W3C validator