MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1funlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1funlim 8574
Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 8575 avoids ax-rep 4736.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1funlim (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Proof of Theorem r1funlim
StepHypRef Expression
1 rdgfun 7458 . . 3 Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2 df-r1 8572 . . . 4 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
32funeqi 5870 . . 3 (Fun 𝑅1 ↔ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
41, 3mpbir 221 . 2 Fun 𝑅1
5 rdgdmlim 7459 . . 3 Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
62dmeqi 5290 . . . 4 dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
7 limeq 5697 . . . 4 (dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)))
86, 7ax-mp 5 . . 3 (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
95, 8mpbir 221 . 2 Lim dom 𝑅1
104, 9pm3.2i 471 1 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  Vcvv 3191  c0 3896  𝒫 cpw 4135  cmpt 4678  dom cdm 5079  Lim wlim 5686  Fun wfun 5844  reccrdg 7451  𝑅1cr1 8570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-r1 8572
This theorem is referenced by:  r1limg  8579  r1fin  8581  r1tr  8584  r1ordg  8586  r1ord3g  8587  r1pwss  8592  r1val1  8594  rankwflemb  8601  r1elwf  8604  rankr1ai  8606  rankdmr1  8609  rankr1ag  8610  rankr1bg  8611  r1elssi  8613  pwwf  8615  unwf  8618  rankr1clem  8628  rankr1c  8629  rankval3b  8634  rankonidlem  8636  onssr1  8639  rankeq0b  8668  ackbij2  9010  wunom  9487
  Copyright terms: Public domain W3C validator