MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1ord3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1ord3g 8497
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Theorem 3.3(i) of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ord3g ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))

Proof of Theorem r1ord3g
StepHypRef Expression
1 r1funlim 8484 . . . . . 6 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 476 . . . . 5 Lim dom 𝑅1
3 limord 5682 . . . . 5 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordsson 6853 . . . . 5 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4 dom 𝑅1 ⊆ On
65sseli 3558 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ On)
75sseli 3558 . . 3 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
8 onsseleq 5663 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
96, 7, 8syl2an 492 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
10 r1ordg 8496 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
1110adantl 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
12 r1tr 8494 . . . . 5 Tr (𝑅1𝐵)
13 trss 4678 . . . . 5 (Tr (𝑅1𝐵) → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵))
1511, 14syl6 34 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
16 fveq2 6083 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) = (𝑅1𝐵))
17 eqimss 3614 . . . . 5 ((𝑅1𝐴) = (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵))
1918a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
2015, 19jaod 393 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
219, 20sylbid 228 1 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wss 3534  Tr wtr 4669  dom cdm 5023  Ord word 5620  Oncon0 5621  Lim wlim 5622  Fun wfun 5779  cfv 5785  𝑅1cr1 8480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-om 6930  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-r1 8482
This theorem is referenced by:  r1ord3  8500  r1val1  8504  rankr1ag  8520  unwf  8528  rankelb  8542  rankonidlem  8546
  Copyright terms: Public domain W3C validator