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Theorem r1ordg 8502
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ordg (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))

Proof of Theorem r1ordg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
2 r1funlim 8490 . . . . . . . 8 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
32simpri 477 . . . . . . 7 Lim dom 𝑅1
4 limord 5687 . . . . . . 7 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Ord dom 𝑅1
6 ordsson 6859 . . . . . 6 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 dom 𝑅1 ⊆ On
87sseli 3564 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
91, 8syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ On)
10 onelon 5651 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
118, 10sylan 487 . . . 4 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
12 suceloni 6883 . . . 4 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → suc 𝐴 ∈ On)
14 eloni 5636 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
15 ordsucss 6888 . . . . . 6 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1716imp 444 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → suc 𝐴𝐵)
188, 17sylan 487 . . 3 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → suc 𝐴𝐵)
19 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝐴 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1))
20 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝐴 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐴))
2120eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝐴 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)))
2219, 21imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = suc 𝐴 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))))
23 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝑦 ∈ dom 𝑅1))
24 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
2524eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)))
2623, 25imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))))
27 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1))
28 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
2928eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
3027, 29imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦))))
31 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1))
32 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝐵))
3332eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
3431, 33imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵))))
35 fvex 6098 . . . . . . . 8 (𝑅1𝐴) ∈ V
3635pwid 4122 . . . . . . 7 (𝑅1𝐴) ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)
37 limsuc 6919 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝑅1 → (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1))
383, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
39 r1sucg 8493 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
4038, 39sylbir 224 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
4136, 40syl5eleqr 2695 . . . . . 6 (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
4241a1i 11 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ On → (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)))
43 limsuc 6919 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝑅1 → (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1))
443, 43ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1)
45 r1tr 8500 . . . . . . . . . . 11 Tr (𝑅1𝑦)
46 dftr4 4680 . . . . . . . . . . 11 (Tr (𝑅1𝑦) ↔ (𝑅1𝑦) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑦))
4745, 46mpbi 219 . . . . . . . . . 10 (𝑅1𝑦) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑦)
48 r1sucg 8493 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
4947, 48syl5sseqr 3617 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝑦) ⊆ (𝑅1‘suc 𝑦))
5049sseld 3567 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
5150a2i 14 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)) → (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
5244, 51syl5bir 232 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
5352a1i 11 . . . . 5 (((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝑦) → ((𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦))))
54 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → suc 𝐴𝑥)
55 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → suc 𝐴 ∈ On)
56 sucelon 6887 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)
5755, 56sylibr 223 . . . . . . . . . . . . 13 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝐴 ∈ On)
58 limord 5687 . . . . . . . . . . . . . 14 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
5958ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → Ord 𝑥)
60 ordelsuc 6890 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝑥) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6157, 59, 60syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6254, 61mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝐴𝑥)
63 limsuc 6919 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝑥 → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6463ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6562, 64mpbid 221 . . . . . . . . . 10 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → suc 𝐴𝑥)
66 simprr 792 . . . . . . . . . . . . 13 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
67 ordtr1 5670 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord dom 𝑅1 → ((𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1))
685, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
6962, 66, 68syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
7069, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
7136, 70syl5eleqr 2695 . . . . . . . . . 10 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
72 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = suc 𝐴 → (𝑅1𝑦) = (𝑅1‘suc 𝐴))
7372eleq2d 2673 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = suc 𝐴 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)))
7473rspcev 3282 . . . . . . . . . 10 ((suc 𝐴𝑥 ∧ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)) → ∃𝑦𝑥 (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))
7565, 71, 74syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → ∃𝑦𝑥 (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))
76 eliun 4455 . . . . . . . . 9 ((𝑅1𝐴) ∈ 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ↔ ∃𝑦𝑥 (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))
7775, 76sylibr 223 . . . . . . . 8 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
78 simpll 786 . . . . . . . . 9 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → Lim 𝑥)
79 r1limg 8495 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8066, 78, 79syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8177, 80eleqtrrd 2691 . . . . . . 7 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥))
8281expr 641 . . . . . 6 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)))
8382a1d 25 . . . . 5 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝑥) → (∀𝑦𝑥 (suc 𝐴𝑦 → (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))) → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥))))
8422, 26, 30, 34, 42, 53, 83tfindsg 6930 . . . 4 (((𝐵 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
8584impr 647 . . 3 (((𝐵 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝐵𝐵 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵))
869, 13, 18, 1, 85syl22anc 1319 . 2 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵))
8786ex 449 1 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  wss 3540  𝒫 cpw 4108   ciun 4450  Tr wtr 4675  dom cdm 5028  Ord word 5625  Oncon0 5626  Lim wlim 5627  suc csuc 5628  Fun wfun 5784  cfv 5790  𝑅1cr1 8486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-r1 8488
This theorem is referenced by:  r1ord3g  8503  r1ord  8504
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