MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pwALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pwALT 8654
Description: Alternate shorter proof of r1pw 8653 based on the additional axioms ax-reg 8442 and ax-inf2 8483. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
r1pwALT (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem r1pwALT
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2692 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵)))
2 pweq 4138 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
32eleq1d 2688 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
41, 3bibi12d 335 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
54imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))) ↔ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))))
6 vex 3194 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
76rankr1a 8644 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐵))
8 eloni 5695 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
9 ordsucelsuc 6970 . . . . . . 7 (Ord 𝐵 → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
117, 10bitrd 268 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
126rankpw 8651 . . . . . 6 (rank‘𝒫 𝑥) = suc (rank‘𝑥)
1312eleq1i 2695 . . . . 5 ((rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵)
1411, 13syl6bbr 278 . . . 4 (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
15 suceloni 6961 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ∈ On)
166pwex 4813 . . . . . 6 𝒫 𝑥 ∈ V
1716rankr1a 8644 . . . . 5 (suc 𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
1815, 17syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
1914, 18bitr4d 271 . . 3 (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
205, 19vtoclg 3257 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
21 elex 3203 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ V)
22 elex 3203 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
23 pwexb 6923 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
2422, 23sylibr 224 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
2521, 24pm5.21ni 367 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
2625a1d 25 . 2 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
2720, 26pm2.61i 176 1 (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  𝒫 cpw 4135  Ord word 5684  Oncon0 5685  suc csuc 5687  cfv 5850  𝑅1cr1 8570  rankcrnk 8571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-reg 8442  ax-inf2 8483
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-r1 8572  df-rank 8573
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator