Theorem r1rankid 9291

Description: Any set is a subset of the hierarchy of its rank. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1rankid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Proof of Theorem r1rankid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3515	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		unir1 9245	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrrdi 2927	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4		r1rankidb 9236	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939  ∪ cuni 4841   “ cima 5561  Oncon0 6194  ‘cfv 6358  𝑅₁cr1 9194  rankcrnk 9195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-reg 9059  ax-inf2 9107

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-r1 9196  df-rank 9197

This theorem is referenced by:  wunex3  10166  elhf2  33640  dfac11  39668  grurankrcld  40576