MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1suc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1suc 8794
Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1suc (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))

Proof of Theorem r1suc
StepHypRef Expression
1 r1sucg 8793 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
2 r1fnon 8791 . . . 4 𝑅1 Fn On
3 fndm 6139 . . . 4 (𝑅1 Fn On → dom 𝑅1 = On)
42, 3ax-mp 5 . . 3 dom 𝑅1 = On
54eqcomi 2757 . 2 On = dom 𝑅1
61, 5eleq2s 2845 1 (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1620  wcel 2127  𝒫 cpw 4290  dom cdm 5254  Oncon0 5872  suc csuc 5874   Fn wfn 6032  cfv 6037  𝑅1cr1 8786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-r1 8788
This theorem is referenced by:  r1sdom  8798  r1sssuc  8807  tz9.12lem3  8813  rankval2  8842  rankpwi  8847  dfac12lem2  9129  dfac12r  9131  ackbij2lem2  9225  ackbij2lem3  9226  wunr1om  9704  r1wunlim  9722  tskr1om  9752  inar1  9760  inatsk  9763  grur1a  9804  grothomex  9814  rankeq1o  32555  elhf2  32559  0hf  32561  aomclem1  38095
  Copyright terms: Public domain W3C validator