MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1suc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1suc 8577
Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1suc (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))

Proof of Theorem r1suc
StepHypRef Expression
1 r1sucg 8576 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
2 r1fnon 8574 . . . 4 𝑅1 Fn On
3 fndm 5948 . . . 4 (𝑅1 Fn On → dom 𝑅1 = On)
42, 3ax-mp 5 . . 3 dom 𝑅1 = On
54eqcomi 2630 . 2 On = dom 𝑅1
61, 5eleq2s 2716 1 (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  𝒫 cpw 4130  dom cdm 5074  Oncon0 5682  suc csuc 5684   Fn wfn 5842  cfv 5847  𝑅1cr1 8569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-r1 8571
This theorem is referenced by:  r1sdom  8581  r1sssuc  8590  tz9.12lem3  8596  rankval2  8625  rankpwi  8630  dfac12lem2  8910  dfac12r  8912  ackbij2lem2  9006  ackbij2lem3  9007  wunr1om  9485  r1wunlim  9503  tskr1om  9533  inar1  9541  inatsk  9544  grur1a  9585  grothomex  9595  rankeq1o  31917  elhf2  31921  0hf  31923  aomclem1  37101
  Copyright terms: Public domain W3C validator