Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabfodom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabfodom 29188
Description: Domination relation for restricted abstract class builders, based on a surjective function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rabfodom.1 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = (𝐹𝑥)) → (𝜒𝜓))
rabfodom.2 (𝜑𝐴𝑉)
rabfodom.3 (𝜑𝐹:𝐴onto𝐵)
Assertion
Ref Expression
rabfodom (𝜑 → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem rabfodom
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3189 . . . . . 6 𝑎 ∈ V
21rabex 4773 . . . . 5 {𝑥𝑎𝜓} ∈ V
3 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥))
4 rabfodom.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴onto𝐵)
5 fof 6072 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76feqmptd 6206 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
87ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
98reseq1d 5355 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝐹𝑎) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝑎))
10 elpwi 4140 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎𝐴)
1110ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → 𝑎𝐴)
1211resmptd 5411 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)))
139, 12eqtrd 2655 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝐹𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)))
14 f1oeq1 6084 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵 ↔ (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)):𝑎1-1-onto𝐵))
1514biimpa 501 . . . . . . 7 (((𝐹𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)):𝑎1-1-onto𝐵)
1613, 15sylancom 700 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)):𝑎1-1-onto𝐵)
17 simp1ll 1122 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝜑)
18113ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑎𝐴)
19 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑥𝑎)
2018, 19sseldd 3584 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑥𝐴)
21 simp3 1061 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑦 = (𝐹𝑥))
22 rabfodom.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = (𝐹𝑥)) → (𝜒𝜓))
2317, 20, 21, 22syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → (𝜒𝜓))
243, 16, 23f1oresrab 6350 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → ((𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ {𝑥𝑎𝜓}):{𝑥𝑎𝜓}–1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒})
25 f1oeng 7918 . . . . 5 (({𝑥𝑎𝜓} ∈ V ∧ ((𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ {𝑥𝑎𝜓}):{𝑥𝑎𝜓}–1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒}) → {𝑥𝑎𝜓} ≈ {𝑦𝐵𝜒})
262, 24, 25sylancr 694 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝑎𝜓} ≈ {𝑦𝐵𝜒})
2726ensymd 7951 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑦𝐵𝜒} ≈ {𝑥𝑎𝜓})
28 rabfodom.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
29 rabexg 4772 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴𝜓} ∈ V)
3028, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐴𝜓} ∈ V)
3130ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝐴𝜓} ∈ V)
32 rabss2 3664 . . . . 5 (𝑎𝐴 → {𝑥𝑎𝜓} ⊆ {𝑥𝐴𝜓})
3311, 32syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝑎𝜓} ⊆ {𝑥𝐴𝜓})
34 ssdomg 7945 . . . 4 ({𝑥𝐴𝜓} ∈ V → ({𝑥𝑎𝜓} ⊆ {𝑥𝐴𝜓} → {𝑥𝑎𝜓} ≼ {𝑥𝐴𝜓}))
3531, 33, 34sylc 65 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝑎𝜓} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
36 endomtr 7958 . . 3 (({𝑦𝐵𝜒} ≈ {𝑥𝑎𝜓} ∧ {𝑥𝑎𝜓} ≼ {𝑥𝐴𝜓}) → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
3727, 35, 36syl2anc 692 . 2 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
38 foresf1o 29187 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴onto𝐵) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵)
3928, 4, 38syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵)
4037, 39r19.29a 3071 1 (𝜑 → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  wss 3555  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cres 5076  wf 5843  ontowfo 5845  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  cen 7896  cdom 7897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-reg 8441  ax-inf2 8482  ax-ac2 9229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-r1 8571  df-rank 8572  df-card 8709  df-ac 8883
This theorem is referenced by:  locfinreflem  29686
  Copyright terms: Public domain W3C validator