MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnv0 24074
Description: Zero is always a convergent point for any power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
radcnv0 (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnv0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 9985 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2 nn0uz 11666 . . 3 0 = (ℤ‘0)
3 0zd 11333 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4 snfi 7982 . . . 4 {0} ∈ Fin
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {0} ∈ Fin)
6 0nn0 11251 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
87snssd 4309 . . 3 (𝜑 → {0} ⊆ ℕ0)
9 ifid 4097 . . . 4 if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), ((𝐺‘0)‘𝑘)) = ((𝐺‘0)‘𝑘)
10 0cnd 9977 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
11 pser.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
1211pserval2 24069 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
1310, 12sylan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
1413adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
15 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16 elnn0 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
1715, 16sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
1817ord 392 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
19 velsn 4164 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
2018, 19syl6ibr 242 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ {0}))
2120con1d 139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ {0} → 𝑘 ∈ ℕ))
2221imp 445 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → 𝑘 ∈ ℕ)
23220expd 12964 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → (0↑𝑘) = 0)
2423oveq2d 6620 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴𝑘) · 0))
25 radcnv.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2625ffvelrnda 6315 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2726adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2827mul01d 10179 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
2914, 24, 283eqtrd 2659 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = 0)
3029ifeq2da 4089 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), ((𝐺‘0)‘𝑘)) = if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), 0))
319, 30syl5eqr 2669 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), 0))
328sselda 3583 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {0}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3311, 25, 10psergf 24070 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘0):ℕ0⟶ℂ)
3433ffvelrnda 6315 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
3532, 34syldan 487 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
362, 3, 5, 8, 31, 35fsumcvg3 14393 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ )
37 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑟 = 0 → (𝐺𝑟) = (𝐺‘0))
3837seqeq3d 12749 . . . 4 (𝑟 = 0 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘0)))
3938eleq1d 2683 . . 3 (𝑟 = 0 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ ))
4039elrab 3346 . 2 (0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ (0 ∈ ℝ ∧ seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ ))
411, 36, 40sylanbrc 697 1 (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  ifcif 4058  {csn 4148  cmpt 4673  dom cdm 5074  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883   · cmul 9885  cn 10964  0cn0 11236  seqcseq 12741  cexp 12800  cli 14149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153
This theorem is referenced by:  radcnvcl  24075  radcnvrat  37992
  Copyright terms: Public domain W3C validator