MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnv0 24931
Description: Zero is always a convergent point for any power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
radcnv0 (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnv0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6663 . . . 4 (𝑟 = 0 → (𝐺𝑟) = (𝐺‘0))
21seqeq3d 13365 . . 3 (𝑟 = 0 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘0)))
32eleq1d 2894 . 2 (𝑟 = 0 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ ))
4 0red 10632 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 nn0uz 12268 . . 3 0 = (ℤ‘0)
6 0zd 11981 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7 snfi 8582 . . . 4 {0} ∈ Fin
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → {0} ∈ Fin)
9 0nn0 11900 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
1110snssd 4734 . . 3 (𝜑 → {0} ⊆ ℕ0)
12 ifid 4502 . . . 4 if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), ((𝐺‘0)‘𝑘)) = ((𝐺‘0)‘𝑘)
13 0cnd 10622 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
14 pser.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
1514pserval2 24926 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
1613, 15sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
1716adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19 elnn0 11887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
2018, 19sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
2120ord 858 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
22 velsn 4573 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
2321, 22syl6ibr 253 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ {0}))
2423con1d 147 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ {0} → 𝑘 ∈ ℕ))
2524imp 407 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → 𝑘 ∈ ℕ)
26250expd 13491 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → (0↑𝑘) = 0)
2726oveq2d 7161 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴𝑘) · 0))
28 radcnv.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2928ffvelrnda 6843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3029adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3130mul01d 10827 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
3217, 27, 313eqtrd 2857 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = 0)
3332ifeq2da 4494 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), ((𝐺‘0)‘𝑘)) = if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), 0))
3412, 33syl5eqr 2867 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, ((𝐺‘0)‘𝑘), 0))
3511sselda 3964 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {0}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3614, 28, 13psergf 24927 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘0):ℕ0⟶ℂ)
3736ffvelrnda 6843 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
3835, 37syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {0}) → ((𝐺‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
395, 6, 8, 11, 34, 38fsumcvg3 15074 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘0)) ∈ dom ⇝ )
403, 4, 39elrabd 3679 1 (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  ifcif 4463  {csn 4557  cmpt 5137  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   · cmul 10530  cn 11626  0cn0 11885  seqcseq 13357  cexp 13417  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833
This theorem is referenced by:  radcnvcl  24932  radcnvrat  40523
  Copyright terms: Public domain W3C validator