Theorem radcnvle 25002

Description: If 𝑋 is a convergent point of the infinite series, then 𝑋 is within the closed disk of radius 𝑅 centered at zero. Or, by contraposition, the series diverges at any point strictly more than 𝑅 from the origin. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvle.a	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
radcnvle	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvle

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 10679	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
2		radcnvle.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3	2	abscld 14790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
4	1, 3	sseldi 3964	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
5		iccssxr 12813	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6		pser.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
7		radcnv.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
8		radcnv.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
9	6, 7, 8	radcnvcl 24999	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
10	5, 9	sseldi 3964	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
11		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < (abs‘𝑋))
12	10	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
13	3	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
14		0xr 10682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		pnfxr 10689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		elicc1 12776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞)))
17	14, 15, 16	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞))
18	9, 17	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞))
19	18	simp2d 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
20		ge0gtmnf 12559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → -∞ < 𝑅)
21	10, 19, 20	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑅)
22	21	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → -∞ < 𝑅)
23	4	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
24	12, 23, 11	xrltled 12537	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
25		xrre 12556	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))) → 𝑅 ∈ ℝ)
26	12, 13, 22, 24, 25	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
27		avglt1 11869	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
28	26, 13, 27	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
29	11, 28	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
30	26, 13	readdcld 10664	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 + (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
31	30	rehalfcld 11878	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ)
32		ssrab2 4055	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
33	32, 1	sstri 3975	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
34	7	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
35	31	recnd 10663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℂ)
36	2	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑋 ∈ ℂ)
37		0red 10638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
38	19	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
39	37, 26, 31, 38, 29	lelttrd 10792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
40	37, 31, 39	ltled 10782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
41	31, 40	absidd 14776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
42		avglt2 11870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
43	26, 13, 42	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
44	11, 43	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋))
45	41, 44	eqbrtrd 5080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) < (abs‘𝑋))
46		radcnvle.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
47	46	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
48	6, 34, 35, 36, 45, 47	radcnvlem3 24997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ )
49		fveq2 6664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
50	49	seqeq3d 13371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)) = seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))))
51	50	eleq1d 2897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
52		fveq2 6664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑦))
53	52	seqeq3d 13371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘𝑦)))
54	53	eleq1d 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
55	54	cbvrabv 3491	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
56	51, 55	elrab2 3682	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ ∧ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
57	31, 48, 56	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ })
58		supxrub 12711	. . . . . 6 ⊢ (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
59	33, 57, 58	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
60	59, 8	breqtrrdi 5100	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ 𝑅)
61	31, 26, 60	lensymd 10785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ¬ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
62	29, 61	pm2.65da 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 < (abs‘𝑋))
63	4, 10, 62	xrnltled 10703	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  dom cdm 5549  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  supcsup 8898  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  -∞cmnf 10667  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  [,]cicc 12735  seqcseq 13363  ↑cexp 13423  abscabs 14587   ⇝ cli 14835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25010  abelthlem1  25013  logtayl  25237