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Theorem radcnvrat 38830
 Description: Let 𝐿 be the limit, if one exists, of the ratio (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴‘𝑘))) (as in the ratio test cvgdvgrat 38829) as 𝑘 increases. Then the radius of convergence of power series Σ𝑛 ∈ ℕ0((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) is (1 / 𝐿) if 𝐿 is nonzero. Proof "The limit involved in the ratio test..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Radius_of_convergence —a few lines that evidently hide quite an involved process to confirm. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
radcnvrat.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnvrat.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnvrat.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvrat.rat 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
radcnvrat.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
radcnvrat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
radcnvrat.n0 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
radcnvrat.l (𝜑𝐷𝐿)
radcnvrat.ln0 (𝜑𝐿 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
radcnvrat (𝜑𝑅 = (1 / 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝜑   𝐴,𝑛,𝑥   𝑘,𝐺,𝑛,𝑥   𝑘,𝑟,𝑥,𝐺   𝑘,𝐿,𝑥   𝑘,𝑍,𝑛   𝐷,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐿(𝑛,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑍(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem radcnvrat
StepHypRef Expression
1 radcnvrat.r . 2 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
2 xrltso 12012 . . . 4 < Or ℝ*
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
4 radcnvrat.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 radcnvrat.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
65nn0zd 11518 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
74reseq2i 5425 . . . . . . 7 (𝐷𝑍) = (𝐷 ↾ (ℤ𝑀))
8 radcnvrat.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐿)
9 radcnvrat.rat . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
10 nn0ex 11336 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
1110mptex 6527 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))) ∈ V
129, 11eqeltri 2726 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V
13 climres 14350 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ V) → ((𝐷 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐿𝐷𝐿))
146, 12, 13sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐿𝐷𝐿))
158, 14mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐿)
167, 15syl5eqbr 4720 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝑍) ⇝ 𝐿)
179reseq1i 5424 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑍) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))) ↾ 𝑍)
18 eluznn0 11795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
195, 18sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2019ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
2120ssrdv 3642 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
224, 21syl5eqss 3682 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ⊆ ℕ0)
2322resmptd 5487 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))) ↾ 𝑍) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))))
2417, 23syl5eq 2697 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝑍) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)))))
25 fvexd 6241 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) ∈ V)
2624, 25fvmpt2d 6332 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐷𝑍)‘𝑘) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
274peano2uzs 11780 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
2822sselda 3636 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
29 radcnvrat.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3029ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3128, 30syldan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3227, 31sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3322sselda 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3429ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3533, 34syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
36 radcnvrat.n0 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
3732, 35, 36divcld 10839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
3837abscld 14219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) ∈ ℝ)
3926, 38eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐷𝑍)‘𝑘) ∈ ℝ)
404, 6, 16, 39climrecl 14358 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
41 radcnvrat.ln0 . . . . 5 (𝜑𝐿 ≠ 0)
4240, 41rereccld 10890 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐿) ∈ ℝ)
4342rexrd 10127 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐿) ∈ ℝ*)
44 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
45 elrabi 3391 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → 𝑥 ∈ ℝ)
4642adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (1 / 𝐿) ∈ ℝ)
47 recn 10064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4847abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
5046, 49ltlend 10220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))))
5150simplbda 653 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)) → (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))
5250adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))))
53 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))
5453biantrud 527 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ↔ ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))))
5546, 49lenltd 10221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) ≤ (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
5752, 54, 563bitr2d 296 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
58 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
5949recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
6040recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
6241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 ≠ 0)
6358, 59, 61, 62divmul3d 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) = (abs‘𝑥) ↔ 1 = ((abs‘𝑥) · 𝐿)))
64 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 𝐿) = (abs‘𝑥) ↔ (abs‘𝑥) = (1 / 𝐿))
65 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = ((abs‘𝑥) · 𝐿) ↔ ((abs‘𝑥) · 𝐿) = 1)
6663, 64, 653bitr3g 302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) = (1 / 𝐿) ↔ ((abs‘𝑥) · 𝐿) = 1))
6766necon3bid 2867 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿) ↔ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1))
6867biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1)
69 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
70 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘𝑍 → ((𝐷𝑍)‘𝑘) = (𝐷𝑘))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐷𝑍)‘𝑘) = (𝐷𝑘))
7271, 39eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
7337absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
7473, 26breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ ((𝐷𝑍)‘𝑘))
7574, 71breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐷𝑘))
764, 6, 8, 72, 75climge0 14359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
7740, 76, 41ne0gt0d 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 𝐿)
7840, 77elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ+)
8049, 69, 79ltmuldivd 11957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)))
82 elun 3786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((ℝ ∩ {0}) ∪ (ℝ ∖ {0})) ↔ (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})))
83 inundif 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℝ ∩ {0}) ∪ (ℝ ∖ {0})) = ℝ
8483eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((ℝ ∩ {0}) ∪ (ℝ ∖ {0})) ↔ 𝑥 ∈ ℝ)
8582, 84bitr3i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ↔ 𝑥 ∈ ℝ)
86 elin 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ {0}))
8786simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) → 𝑥 ∈ {0})
88 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) → 𝑥 = 0)
90 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
91 abs0 14069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (abs‘0) = 0
9290, 91syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
9392oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) · 𝐿) = (0 · 𝐿))
9460mul02d 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (0 · 𝐿) = 0)
9593, 94sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 = 0) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) = 0)
96 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < 1
9795, 96syl6eqbr 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 = 0) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1)
98 radcnvrat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
9998, 29radcnv0 24215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
100 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
10199, 100syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
102101imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
10397, 1022thd 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 = 0) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
10489, 103sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0})) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
105104adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0})) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
106 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ ⊆ ℂ
107 ssdif 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℝ ⊆ ℂ → (ℝ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℝ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
109108sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
110 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 = (ℤ‘0)
1115ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → 𝑀 ∈ ℕ0)
112 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (𝐺𝑥) ∈ V)
113 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
11498a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))))
11510mptex 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ∈ V
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ∈ V)
117114, 116fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
119 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
120 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑘))
121119, 120oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
122121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
123 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
124 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ V)
125118, 122, 123, 124fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
12634adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
127 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
128127, 123expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
129126, 128mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
130125, 129eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
131113, 130sylanl2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
132131adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
13333adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ0)
134133, 125syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
135113, 134sylanl2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
13635adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
137113adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
138137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ∈ ℂ)
13933adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ0)
140138, 139expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
14136adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
142 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
143142ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ≠ 0)
144139nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
145138, 143, 144expne0d 13054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥𝑘) ≠ 0)
146136, 140, 141, 145mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ≠ 0)
147135, 146eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ≠ 0)
148147adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) ≠ 0)
149 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
150149fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) = ((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)))
151 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑥)‘𝑛) = ((𝐺𝑥)‘𝑘))
152150, 151oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)) = (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)))
153152fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))) = (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
154153cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
1554reseq2i 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ 𝑍) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀))
15622adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑍 ⊆ ℕ0)
157156resmptd 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ 𝑍) = (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))))
158155, 157syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) = (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))))
1596adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑀 ∈ ℤ)
1608adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐷𝐿)
161137abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
162161recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
16310mptex 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ∈ V
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ∈ V)
16572recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) ∈ ℂ)
166165adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) ∈ ℂ)
167 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))))
168153adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))) = (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
169 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))) ∈ V)
170167, 168, 139, 169fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))))‘𝑘) = (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))))
171117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
172 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
173172fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝐴𝑛) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
174172oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑥𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
175173, 174oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))))
176 1nn0 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 ∈ ℕ0
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → 1 ∈ ℕ0)
178133, 177nn0addcld 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
179 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ V)
180171, 175, 178, 179fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))))
181121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
182 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ V)
183171, 181, 133, 182fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑥)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))
184180, 183oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) / ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
185113, 184sylanl2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) / ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
18632adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
187113, 178sylanl2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
188138, 187expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
189186, 136, 188, 140, 141, 145divmuldivd 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘))) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑥↑(𝑘 + 1))) / ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
190139nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
191 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → 1 ∈ ℂ)
192190, 191pncan2d 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
193192oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑥↑1))
194187nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
195138, 143, 144, 194expsubd 13059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘)))
196138exp1d 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥↑1) = 𝑥)
197193, 195, 1963eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘)) = 𝑥)
198197oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · ((𝑥↑(𝑘 + 1)) / (𝑥𝑘))) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥))
199185, 189, 1983eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘)) = (((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥))
200199fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑘 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑘))) = (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥)))
20137adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
202201, 138absmuld 14237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘)) · 𝑥)) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) · (abs‘𝑥)))
203170, 200, 2023eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))))‘𝑘) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) · (abs‘𝑥)))
20471, 26eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
205204adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐷𝑘) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))))
206205eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) = (𝐷𝑘))
207206oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) / (𝐴𝑘))) · (abs‘𝑥)) = ((𝐷𝑘) · (abs‘𝑥)))
208162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
209166, 208mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐷𝑘) · (abs‘𝑥)) = ((abs‘𝑥) · (𝐷𝑘)))
210203, 207, 2093eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛))))‘𝑘) = ((abs‘𝑥) · (𝐷𝑘)))
2114, 159, 160, 162, 164, 166, 210climmulc2 14411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
212 climres 14350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿)))
213159, 163, 212sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿)))
214211, 213mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
215158, 214eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
216215adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(((𝐺𝑥)‘(𝑛 + 1)) / ((𝐺𝑥)‘𝑛)))) ⇝ ((abs‘𝑥) · 𝐿))
217 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1)
218110, 4, 111, 112, 132, 148, 154, 216, 217cvgdvgrat 38829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
219109, 218sylanl2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
220 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
221 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 = 𝑥 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑥))
222221seqeq3d 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 = 𝑥 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑥)))
223222eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑟 = 𝑥 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
224223elrab3 3397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
225220, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
226225ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ seq0( + , (𝐺𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
227219, 226bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
228227an32s 863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
229105, 228jaodan 843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ (𝑥 ∈ (ℝ ∩ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23085, 229sylan2br 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
231230an32s 863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → (((abs‘𝑥) · 𝐿) < 1 ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23281, 231bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((abs‘𝑥) · 𝐿) ≠ 1) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23368, 232syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
234233notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → (¬ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23557, 234bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
236235biimpd 219 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
237236impancom 455 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)) → ((abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
23851, 237mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
239238ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) < (abs‘𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
240239con2d 129 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → ¬ (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)))
24146adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (1 / 𝐿) ∈ ℝ)
242 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
24349adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
244 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (1 / 𝐿) < 𝑥)
245242leabsd 14197 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → 𝑥 ≤ (abs‘𝑥))
246241, 242, 243, 244, 245ltletrd 10235 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (1 / 𝐿) < 𝑥) → (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥))
247246ex 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐿) < 𝑥 → (1 / 𝐿) < (abs‘𝑥)))
248240, 247nsyld 154 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → ¬ (1 / 𝐿) < 𝑥))
24945, 248sylan2 490 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → (𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → ¬ (1 / 𝐿) < 𝑥))
25044, 249mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → ¬ (1 / 𝐿) < 𝑥)
25142renegcld 10495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(1 / 𝐿) ∈ ℝ)
252251rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*)
253 iooss1 12248 . . . . . . . 8 ((-(1 / 𝐿) ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)))
254252, 253sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)))
255254adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)))
256 eliooord 12271 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿)) → (𝑥 < 𝑘𝑘 < (1 / 𝐿)))
257256simpld 474 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿)) → 𝑥 < 𝑘)
258257rgen 2951 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘
259 ioon0 12239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < (1 / 𝐿)))
26043, 259sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝜑) → ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < (1 / 𝐿)))
261260ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < (1 / 𝐿)))
262261biimpar 501 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < (1 / 𝐿)) → (𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅)
263 r19.2zb 4094 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
264262, 263sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < (1 / 𝐿)) → (∀𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
265258, 264mpi 20 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < (1 / 𝐿)) → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
266265anasss 680 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
267266adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
268 ssrexv 3700 . . . . . 6 ((𝑥(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) → (∃𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
269255, 267, 268sylc 65 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
270 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
271 xrltnle 10143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (𝑥 < -(1 / 𝐿) ↔ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥))
272 xrltle 12020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (𝑥 < -(1 / 𝐿) → 𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
273271, 272sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -(1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
274252, 273sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝜑) → (¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
275274ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)))
276275imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ -(1 / 𝐿))
277 iooss1 12248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ -(1 / 𝐿)) → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (𝑥(,)(1 / 𝐿)))
278270, 276, 277syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ (𝑥(,)(1 / 𝐿)))
279278sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → 𝑘 ∈ (𝑥(,)(1 / 𝐿)))
280279, 257syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → 𝑥 < 𝑘)
281280ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
28240, 77recgt0d 10996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (1 / 𝐿))
28342, 42, 282, 282addgt0d 10640 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐿) + (1 / 𝐿)))
28442recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 𝐿) ∈ ℂ)
285284, 284subnegd 10437 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / 𝐿) − -(1 / 𝐿)) = ((1 / 𝐿) + (1 / 𝐿)))
286283, 285breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐿) − -(1 / 𝐿)))
287251, 42posdifd 10652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿) ↔ 0 < ((1 / 𝐿) − -(1 / 𝐿))))
288286, 287mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿))
289 ioon0 12239 . . . . . . . . . . 11 ((-(1 / 𝐿) ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ -(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿)))
290252, 43, 289syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ -(1 / 𝐿) < (1 / 𝐿)))
291288, 290mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅)
292 r19.2zb 4094 . . . . . . . . 9 ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ≠ ∅ ↔ (∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
293291, 292sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
294293ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘))
295281, 294mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
296295adantlrr 757 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) ∧ ¬ -(1 / 𝐿) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
297269, 296pm2.61dan 849 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → ∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘)
298 elioo2 12254 . . . . . . . . . . 11 ((-(1 / 𝐿) ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐿) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))))
299252, 43, 298syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))))
300299biimpa 500 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)))
301 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
302301, 46absltd 14212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) ↔ (-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))))
30349adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
304 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿))
305303, 304ltned 10211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿))
306233biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
307306impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → ((abs‘𝑥) ≠ (1 / 𝐿) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
308305, 307mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑥) < (1 / 𝐿)) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
309308ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) < (1 / 𝐿) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
310302, 309sylbird 250 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
311310impr 648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)))) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
312311expcom 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))) → (𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
3133123impb 1279 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿)) → (𝜑𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
314313impcom 445 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(1 / 𝐿) < 𝑥𝑥 < (1 / 𝐿))) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
315300, 314syldan 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
316315ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) → 𝑥 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }))
317316ssrdv 3642 . . . . . 6 (𝜑 → (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
318 ssrexv 3700 . . . . . 6 ((-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿)) ⊆ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } → (∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘))
319317, 318syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘))
320319adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → (∃𝑘 ∈ (-(1 / 𝐿)(,)(1 / 𝐿))𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘))
321297, 320mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (1 / 𝐿))) → ∃𝑘 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑥 < 𝑘)
3223, 43, 250, 321eqsupd 8404 . 2 (𝜑 → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = (1 / 𝐿))
3231, 322syl5eq 2697 1 (𝜑𝑅 = (1 / 𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   Or wor 5063  dom cdm 5143   ↾ cres 5145  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  seqcseq 12841  ↑cexp 12900  abscabs 14018   ⇝ cli 14259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461 This theorem is referenced by:  binomcxplemradcnv  38868
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