MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragcol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ragcol 25489
Description: The right angle property is independent of the choice of point on one side. Theorem 8.3 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
ragcol.d (𝜑𝐷𝑃)
ragcol.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragcol.2 (𝜑𝐴𝐵)
ragcol.3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐷) ∨ 𝐵 = 𝐷))
Assertion
Ref Expression
ragcol (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem ragcol
StepHypRef Expression
1 israg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 israg.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 israg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 israg.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 israg.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
6 israg.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
7 ragcol.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
8 eqid 2626 . . 3 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9 israg.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
10 israg.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
11 israg.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
12 eqid 2626 . . . 4 (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵)
131, 10, 3, 2, 11, 4, 5, 12, 9mircl 25451 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
14 ragcol.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
1514necomd 2851 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
16 ragcol.3 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐷) ∨ 𝐵 = 𝐷))
171, 10, 3, 2, 11, 4, 5, 12, 9mircgr 25447 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) = (𝐵 𝐶))
1817eqcomd 2632 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐵 ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
19 ragcol.1 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
201, 10, 3, 2, 11, 4, 6, 5, 9israg 25487 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
2119, 20mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 10, 15, 16, 18, 21lncgr 25359 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝐶) = (𝐷 ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
231, 10, 3, 2, 11, 4, 7, 5, 9israg 25487 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 𝐶) = (𝐷 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
2422, 23mpbird 247 1 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cfv 5850  (class class class)co 6605  ⟨“cs3 13519  Basecbs 15776  distcds 15866  TarskiGcstrkg 25224  Itvcitv 25230  LineGclng 25231  cgrGccgrg 25300  pInvGcmir 25442  ∟Gcrag 25483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-s1 13236  df-s2 13525  df-s3 13526  df-trkgc 25242  df-trkgb 25243  df-trkgcb 25244  df-trkg 25247  df-cgrg 25301  df-mir 25443  df-rag 25484
This theorem is referenced by:  ragflat  25494  ragflat3  25496  ragperp  25507  footex  25508  colperpexlem1  25517  mideulem2  25521  opphllem  25522
  Copyright terms: Public domain W3C validator