Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ragcom 25527
 Description: Commutative rule for right angles. Theorem 8.2 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
ragcom.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
ragcom (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem ragcom
StepHypRef Expression
1 israg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 israg.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 israg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 israg.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 israg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
6 israg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
7 israg.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8 israg.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9 israg.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
10 eqid 2621 . . . . 5 (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵)
111, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 6mircl 25490 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
12 ragcom.1 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
131, 2, 3, 7, 8, 4, 5, 9, 6israg 25526 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
1412, 13mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 11, 14tgcgrcomlr 25309 . . 3 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (((𝑆𝐵)‘𝐶) 𝐴))
161, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 5miriso 25499 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝐶)) ((𝑆𝐵)‘𝐴)) = (((𝑆𝐵)‘𝐶) 𝐴))
171, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 6mirmir 25491 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝐶)) = 𝐶)
1817oveq1d 6630 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝐶)) ((𝑆𝐵)‘𝐴)) = (𝐶 ((𝑆𝐵)‘𝐴)))
1915, 16, 183eqtr2d 2661 . 2 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 ((𝑆𝐵)‘𝐴)))
201, 2, 3, 7, 8, 4, 6, 9, 5israg 25526 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 ((𝑆𝐵)‘𝐴))))
2119, 20mpbird 247 1 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ⟨“cs3 13540  Basecbs 15800  distcds 15890  TarskiGcstrkg 25263  Itvcitv 25269  LineGclng 25270  pInvGcmir 25481  ∟Gcrag 25522 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254  df-concat 13256  df-s1 13257  df-s2 13546  df-s3 13547  df-trkgc 25281  df-trkgb 25282  df-trkgcb 25283  df-trkg 25286  df-mir 25482  df-rag 25523 This theorem is referenced by:  ragflat  25533  ragtriva  25534  perpcom  25542  ragperp  25546  footex  25547  perpdragALT  25553  colperpexlem3  25558  mideulem2  25560  hypcgrlem1  25625  trgcopy  25630
 Copyright terms: Public domain W3C validator