MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragflat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ragflat3 25315
Description: Right angle and colinearity. Theorem 8.9 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
ragflat3.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat3.2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
Assertion
Ref Expression
ragflat3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐵))

Proof of Theorem ragflat3
StepHypRef Expression
1 israg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 israg.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 israg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 israg.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 israg.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 israg.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 israg.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐶𝑃)
10 israg.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝑃)
12 israg.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
14 ragflat3.1 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1514adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
16 simpr 475 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
1716neqned 2784 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
18 ragflat3.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
1918adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
201, 4, 3, 7, 13, 11, 9, 19colrot1 25168 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
211, 2, 3, 4, 5, 7, 13, 11, 9, 9, 15, 17, 20ragcol 25308 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐶𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
221, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 21ragtriva 25314 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
2322ex 448 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐵))
2423orrd 391 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  ⟨“cs3 13380  Basecbs 15637  distcds 15719  TarskiGcstrkg 25042  Itvcitv 25048  LineGclng 25049  pInvGcmir 25261  ∟Gcrag 25302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-concat 13098  df-s1 13099  df-s2 13386  df-s3 13387  df-trkgc 25060  df-trkgb 25061  df-trkgcb 25062  df-trkg 25065  df-cgrg 25120  df-mir 25262  df-rag 25303
This theorem is referenced by:  ragncol  25318  mideulem2  25340  opphllem  25341
  Copyright terms: Public domain W3C validator