Theorem raleqi 3415

Description: Equality inference for restricted universal quantifier. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
raleqi	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem raleqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		raleq 3407	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1537  ∀wral 3140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2795

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-ex 1781  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-ral 3145

This theorem is referenced by:  ralrab2  3692  ralprgf  4632  raltpg  4636  ralxp  5714  f12dfv  7032  f13dfv  7033  ralrnmpo  7291  ovmptss  7790  ixpfi2  8824  dffi3  8897  dfoi  8977  fseqenlem1  9452  kmlem12  9589  fzprval  12971  fztpval  12972  hashbc  13814  2prm  16038  prmreclem2  16255  xpsfrnel  16837  xpsle  16854  gsumwspan  18013  sgrp2rid2  18093  psgnunilem3  18626  pmtrsn  18649  ply1coe  20466  cply1coe0bi  20470  islinds2  20959  m2cpminvid2lem  21364  basdif0  21563  ordtbaslem  21798  ptbasfi  22191  ptcnplem  22231  ptrescn  22249  flftg  22606  ust0  22830  minveclem1  24029  minveclem3b  24033  minveclem6  24039  iblcnlem1  24390  ellimc2  24477  ftalem3  25654  dchreq  25836  pntlem3  26187  istrkg2ld  26248  istrkg3ld  26249  tgcgr4  26319  elntg2  26773  lfuhgr1v0e  27038  cplgr0  27209  wlkp1lem8  27464  usgr2pthlem  27546  pthdlem1  27549  pthd  27552  crctcshwlkn0  27601  2wlkdlem4  27709  2wlkdlem5  27710  2pthdlem1  27711  2wlkdlem10  27716  rusgrnumwwlkl1  27749  0ewlk  27895  0wlk  27897  wlk2v2elem2  27937  3wlkdlem4  27943  3wlkdlem5  27944  3pthdlem1  27945  3wlkdlem10  27950  minvecolem1  28653  minvecolem5  28660  minvecolem6  28661  cdj3lem3b  30219  prsiga  31392  hfext  33646  filnetlem4  33731  relowlssretop  34646  relowlpssretop  34647  elghomOLD  35167  iscrngo2  35277  refrelcoss3  35705  tendoset  37897  fnwe2lem2  39658  eliuniincex  41382  eliincex  41383  uzub  41712  liminflelimsuplem  42063  xlimbr  42115  subsaliuncl  42648  isomushgr  43998  rrx2pnecoorneor  44709  rrx2linest  44736