Theorem ralrp 12412

Description: Quantification over positive reals. (Contributed by NM, 12-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
ralrp	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝜑))

Proof of Theorem ralrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 12394	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
2	1	imbi1i 352	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ → 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝜑))
3		impexp 453	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 𝜑)))
4	2, 3	bitri 277	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 𝜑)))
5	4	ralbii2 3166	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141   class class class wbr 5069  ℝcr 10539  0cc0 10540   < clt 10678  ℝ⁺crp 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ral 3146  df-rab 3150  df-v 3499  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-br 5070  df-rp 12393

This theorem is referenced by: (None)