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Theorem ramcl 15935
Description: Ramsey's theorem: the Ramsey number is an integer for every finite coloring and set of upper bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramcl ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem ramcl
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑔 𝑘 𝑚 𝑛 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 11490 . . . 4 0 ∈ V
2 simpr 479 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Fin)
3 elmapg 8036 . . . 4 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ0))
41, 2, 3sylancr 698 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ0))
5 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (0 Ramsey 𝑓))
65eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
76ralbidv 3124 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
87imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
9 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑓))
109eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1110ralbidv 3124 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1211imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
13 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 Ramsey 𝑓) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
1413eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1514ralbidv 3124 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1615imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
17 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝑓))
1817eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1918ralbidv 3124 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
2019imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
21 elmapi 8045 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
22 0ramcl 15929 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
2321, 22sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
2423ralrimiva 3104 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
25 oveq2 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 → (𝑚 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑔))
2625eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0))
2726cbvralv 3310 . . . . . . . . 9 (∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
28 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Fin)
2921ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
3029ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑓𝑘) ∈ ℕ0)
3128, 30fsumnn0cl 14666 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) ∈ ℕ0)
32 eqeq2 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0))
3332anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0)))
3433imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
3534albidv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
3635imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
37 eqeq2 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑛 → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛))
3837anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑛 → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛)))
3938imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑛 → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
4039albidv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑛 → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
4140imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑛 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
42 eqeq2 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)))
4342anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1))))
4443imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
4544albidv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
4645imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
47 eqeq2 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)))
4847anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘))))
4948imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
5049albidv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
5150imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
52 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
53 ffvelrn 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((:𝑅⟶ℕ0𝑘𝑅) → (𝑘) ∈ ℕ0)
5453adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘) ∈ ℕ0)
5554nn0red 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘) ∈ ℝ)
5654nn0ge0d 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘𝑅) → 0 ≤ (𝑘))
5752, 55, 56fsum00 14729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0 ↔ ∀𝑘𝑅 (𝑘) = 0))
58 fvex 6362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘) ∈ V
5958rgenw 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘𝑅 (𝑘) ∈ V
60 mpteqb 6461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑘𝑅 (𝑘) ∈ V → ((𝑘𝑅 ↦ (𝑘)) = (𝑘𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘𝑅 (𝑘) = 0))
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘𝑅 ↦ (𝑘)) = (𝑘𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘𝑅 (𝑘) = 0)
6257, 61syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0 ↔ (𝑘𝑅 ↦ (𝑘)) = (𝑘𝑅 ↦ 0)))
63 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → :𝑅⟶ℕ0)
6463feqmptd 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → = (𝑘𝑅 ↦ (𝑘)))
65 fconstmpt 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 × {0}) = (𝑘𝑅 ↦ 0)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (𝑅 × {0}) = (𝑘𝑅 ↦ 0))
6764, 66eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → ( = (𝑅 × {0}) ↔ (𝑘𝑅 ↦ (𝑘)) = (𝑘𝑅 ↦ 0)))
6862, 67bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0 ↔ = (𝑅 × {0})))
69 xpeq1 5280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = (∅ × {0}))
70 0xp 5356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∅ × {0}) = ∅
7169, 70syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = ∅)
7271oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 = ∅ → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = ((𝑚 + 1) Ramsey ∅))
73 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
74 peano2nn0 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
76 ram0 15928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
7872, 77sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = (𝑚 + 1))
7975adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
8078, 79eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
8175adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
82 simp-4l 825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Fin)
83 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
84 ramz 15931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
8581, 82, 83, 84syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
86 0nn0 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℕ0
8785, 86syl6eqel 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
8880, 87pm2.61dane 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
89 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})))
9089eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = (𝑅 × {0}) → (((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0))
9188, 90syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → ( = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
9268, 91sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
9392expimpd 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
9493alrimiv 2004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
95 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑅⟶ℕ0𝑓 Fn 𝑅)
9695ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓 Fn 𝑅)
97 ffnfv 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ (𝑓 Fn 𝑅 ∧ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ))
9897baib 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 Fn 𝑅 → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ))
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ))
100 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101100ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
102101, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
103 simp-4l 825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑅 ∈ Fin)
104 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
105 nnssnn0 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℕ ⊆ ℕ0
106 fss 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
107104, 105, 106sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
108101nn0cnd 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
109 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 ∈ ℂ
110 pncan 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
111108, 109, 110sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
112111oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) = (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))))
113103adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
114 mptexg 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑅 ∈ Fin → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) ∈ V)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) ∈ V)
116 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
117104ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → (𝑓𝑥) ∈ ℕ)
118 nnm1nn0 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑓𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑓𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
120119adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑦𝑅) → ((𝑓𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
121107adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
122121ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑦𝑅) → (𝑓𝑦) ∈ ℕ0)
123120, 122ifcld 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑦𝑅) → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)) ∈ ℕ0)
124 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))
125123, 124fmptd 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0)
126 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
127 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑥𝑅)
128 ffvelrn 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑘𝑅) → (𝑓𝑘) ∈ ℕ)
1291283ad2antl2 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑓𝑘) ∈ ℕ)
130129nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑓𝑘) ∈ ℂ)
131130subid1d 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → ((𝑓𝑘) − 0) = (𝑓𝑘))
132131ifeq2d 4249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), ((𝑓𝑘) − 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), (𝑓𝑘)))
133 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 = 𝑥 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑥))
134133adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑥))
135134oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑓𝑘) − 1) = ((𝑓𝑥) − 1))
136135ifeq1da 4260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), (𝑓𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
137132, 136eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), ((𝑓𝑘) − 0)))
138 ovif2 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), ((𝑓𝑘) − 0))
139137, 138syl6eqr 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = ((𝑓𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
140139sumeq2dv 14632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = Σ𝑘𝑅 ((𝑓𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
141 simp1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
142 0cn 10224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 0 ∈ ℂ
143109, 142keepel 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ)
145141, 130, 144fsumsub 14719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 ((𝑓𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
146 elsng 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑘𝑅 → (𝑘 ∈ {𝑥} ↔ 𝑘 = 𝑥))
147146ifbid 4252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑘𝑅 → if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = if(𝑘 = 𝑥, 1, 0))
148147sumeq2i 14628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Σ𝑘𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)
149 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → 𝑥𝑅)
150149snssd 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → {𝑥} ⊆ 𝑅)
151 sumhash 15802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑅 ∈ Fin ∧ {𝑥} ⊆ 𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (♯‘{𝑥}))
152141, 150, 151syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (♯‘{𝑥}))
153 hashsng 13351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥𝑅 → (♯‘{𝑥}) = 1)
154149, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → (♯‘{𝑥}) = 1)
155152, 154eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = 1)
156148, 155syl5eqr 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) = 1)
157156oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − 1))
158140, 145, 1573eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − 1))
159113, 126, 127, 158syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − 1))
160 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))
161160oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
162 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
163162ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑛 ∈ ℕ0)
164163nn0cnd 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑛 ∈ ℂ)
165 pncan 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
166164, 109, 165sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
167159, 161, 1663eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛)
168125, 167jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛))
169 feq1 6187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (:𝑅⟶ℕ0 ↔ (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0))
170 fveq1 6351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (𝑘) = ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))‘𝑘))
171 equequ1 2107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 = 𝑥𝑘 = 𝑥))
172 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑦 = 𝑘 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑘))
173171, 172ifbieq2d 4255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 = 𝑘 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
174 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑓𝑥) − 1) ∈ V
175 fvex 6362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑓𝑘) ∈ V
176174, 175ifex 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) ∈ V
177173, 124, 176fvmpt 6444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑘𝑅 → ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
178170, 177sylan9eq 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
179178sumeq2dv 14632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
180179eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛 ↔ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛))
181169, 180anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) ↔ ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛)))
182 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))
183182eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) ∈ ℕ0))
184181, 183imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ (((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) ∈ ℕ0)))
185184spcgv 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) ∈ V → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → (((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) ∈ ℕ0)))
186115, 116, 168, 185syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) ∈ ℕ0)
187 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))
188186, 187fmptd 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))):𝑅⟶ℕ0)
189 elmapg 8036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) ↔ (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))):𝑅⟶ℕ0))
1901, 103, 189sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) ↔ (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))):𝑅⟶ℕ0))
191188, 190mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) ∈ (ℕ0𝑚 𝑅))
192 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
193192ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
194 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑔 = (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) → (𝑚 Ramsey 𝑔) = (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))))
195194eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑔 = (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) → ((𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0))
196195rspcv 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) → (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 → (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0))
197191, 193, 196sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0)
198112, 197eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0)
199 peano2nn0 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0 → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0)
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0)
201 nn0p1nn 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
202100, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
203202ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
204 equequ1 2107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 = 𝑥𝑤 = 𝑥))
205 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 = 𝑤 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑤))
206204, 205ifbieq2d 4255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 = 𝑤 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)) = if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑤)))
207206cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) = (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑤)))
208 eqeq2 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑧))
209 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 = 𝑧 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑧))
210209oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓𝑥) − 1) = ((𝑓𝑧) − 1))
211208, 210ifbieq1d 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑤)) = if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤)))
212211mpteq2dv 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑤))) = (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤))))
213207, 212syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) = (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤))))
214213oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤)))))
215214cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) = (𝑧𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤)))))
216203, 103, 104, 215, 188, 198ramub1 15934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1))
217 ramubcl 15924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) ∧ (((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
218102, 103, 107, 200, 216, 217syl32anc 1485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
219218expr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
220219adantrl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
22199, 220sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
222 rexnal 3133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑥𝑅 ¬ (𝑓𝑥) ∈ ℕ ↔ ¬ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ)
223 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
224223ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → (𝑓𝑥) ∈ ℕ0)
225 elnn0 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑓𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓𝑥) = 0))
226224, 225sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑓𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓𝑥) = 0))
227226ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → (¬ (𝑓𝑥) ∈ ℕ → (𝑓𝑥) = 0))
228202ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
229 simp-4l 825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑅 ∈ Fin)
230228, 229, 2233jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0))
231 ramz2 15930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑥𝑅 ∧ (𝑓𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
232230, 231sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥𝑅 ∧ (𝑓𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
233232, 86syl6eqel 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥𝑅 ∧ (𝑓𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
234233expr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑓𝑥) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
235227, 234syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → (¬ (𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
236235rexlimdva 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∃𝑥𝑅 ¬ (𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
237222, 236syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (¬ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
238221, 237pm2.61d 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
239238exp31 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
240239alrimdv 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
241 feq1 6187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( = 𝑓 → (:𝑅⟶ℕ0𝑓:𝑅⟶ℕ0))
242 fveq1 6351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( = 𝑓 → (𝑘) = (𝑓𝑘))
243242sumeq2sdv 14634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ( = 𝑓 → Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘))
244243eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( = 𝑓 → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1) ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)))
245241, 244anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( = 𝑓 → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))))
246 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( = 𝑓 → ((𝑚 + 1) Ramsey ) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
247246eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( = 𝑓 → (((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
248245, 247imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( = 𝑓 → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
249248cbvalv 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
250240, 249syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
251250anassrs 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
252251expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
253252a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
25436, 41, 46, 51, 94, 253nn0ind 11664 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑅 (𝑓𝑘) ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
255254com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) ∈ ℕ0 → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
256255adantrl 754 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) ∈ ℕ0 → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
25731, 256mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
258243biantrud 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑓 → (:𝑅⟶ℕ0 ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘))))
259258, 241bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑓 → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ0))
260259, 247imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑓 → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
261260spv 2405 . . . . . . . . . . . 12 (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → (𝑓:𝑅⟶ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
262257, 29, 261sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
263262expr 644 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)) → (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
264263ralrimdva 3107 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
26527, 264syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
266265expcom 450 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ Fin → (∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
267266a2d 29 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
2688, 12, 16, 20, 24, 267nn0ind 11664 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
269268imp 444 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
270 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑀 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝐹))
271270eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
272271rspccv 3446 . . . 4 (∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072  wal 1630   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  0cn0 11484  chash 13311  Σcsu 14615   Ramsey cram 15905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-ram 15907
This theorem is referenced by:  ramsey  15936
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