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Theorem ramcl 16353
Description: Ramsey's theorem: the Ramsey number is an integer for every finite coloring and set of upper bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramcl ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem ramcl
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑔 𝑘 𝑚 𝑛 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 11891 . . . 4 0 ∈ V
2 simpr 485 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Fin)
3 elmapg 8408 . . . 4 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ0))
41, 2, 3sylancr 587 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ0))
5 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (0 Ramsey 𝑓))
65eleq1d 2894 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
76ralbidv 3194 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
87imbi2d 342 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
9 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑓))
109eleq1d 2894 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1110ralbidv 3194 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1211imbi2d 342 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
13 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 Ramsey 𝑓) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
1413eleq1d 2894 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1514ralbidv 3194 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1615imbi2d 342 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
17 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝑓))
1817eleq1d 2894 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1918ralbidv 3194 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
2019imbi2d 342 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
21 elmapi 8417 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
22 0ramcl 16347 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
2321, 22sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
2423ralrimiva 3179 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
25 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 → (𝑚 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑔))
2625eleq1d 2894 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0))
2726cbvralvw 3447 . . . . . . . . 9 (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
28 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Fin)
2921ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
3029ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑓𝑘) ∈ ℕ0)
3128, 30fsumnn0cl 15081 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) ∈ ℕ0)
32 eqeq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0))
3332anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0)))
3433imbi1d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
3534albidv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
3635imbi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
37 eqeq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑛 → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛))
3837anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑛 → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛)))
3938imbi1d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑛 → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
4039albidv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑛 → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
4140imbi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑛 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
42 eqeq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)))
4342anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1))))
4443imbi1d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
4544albidv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
4645imbi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
47 eqeq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)))
4847anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘))))
4948imbi1d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
5049albidv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
5150imbi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
52 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
53 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((:𝑅⟶ℕ0𝑘𝑅) → (𝑘) ∈ ℕ0)
5453adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘) ∈ ℕ0)
5554nn0red 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘) ∈ ℝ)
5654nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘𝑅) → 0 ≤ (𝑘))
5752, 55, 56fsum00 15141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0 ↔ ∀𝑘𝑅 (𝑘) = 0))
58 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘) ∈ V
5958rgenw 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘𝑅 (𝑘) ∈ V
60 mpteqb 6779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑘𝑅 (𝑘) ∈ V → ((𝑘𝑅 ↦ (𝑘)) = (𝑘𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘𝑅 (𝑘) = 0))
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘𝑅 ↦ (𝑘)) = (𝑘𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘𝑅 (𝑘) = 0)
6257, 61syl6bbr 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0 ↔ (𝑘𝑅 ↦ (𝑘)) = (𝑘𝑅 ↦ 0)))
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → :𝑅⟶ℕ0)
6463feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → = (𝑘𝑅 ↦ (𝑘)))
65 fconstmpt 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 × {0}) = (𝑘𝑅 ↦ 0)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (𝑅 × {0}) = (𝑘𝑅 ↦ 0))
6764, 66eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → ( = (𝑅 × {0}) ↔ (𝑘𝑅 ↦ (𝑘)) = (𝑘𝑅 ↦ 0)))
6862, 67bitr4d 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0 ↔ = (𝑅 × {0})))
69 xpeq1 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = (∅ × {0}))
70 0xp 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∅ × {0}) = ∅
7169, 70syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = ∅)
7271oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 = ∅ → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = ((𝑚 + 1) Ramsey ∅))
73 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
74 peano2nn0 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
76 ram0 16346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
7872, 77sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = (𝑚 + 1))
7975adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
8078, 79eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
8175adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
82 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Fin)
83 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
84 ramz 16349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
8581, 82, 83, 84syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
86 0nn0 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℕ0
8785, 86syl6eqel 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
8880, 87pm2.61dane 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
89 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})))
9089eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = (𝑅 × {0}) → (((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0))
9188, 90syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → ( = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
9268, 91sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
9392expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
9493alrimiv 1919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
95 ffn 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑅⟶ℕ0𝑓 Fn 𝑅)
9695ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓 Fn 𝑅)
97 ffnfv 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ (𝑓 Fn 𝑅 ∧ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ))
9897baib 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 Fn 𝑅 → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ))
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ))
100 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101100ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
102101, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
103 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑅 ∈ Fin)
104 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
105 nnssnn0 11888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℕ ⊆ ℕ0
106 fss 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
107104, 105, 106sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
108101nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
109 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 ∈ ℂ
110 pncan 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
111108, 109, 110sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
112111oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) = (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))))
113 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑔 = (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) → (𝑚 Ramsey 𝑔) = (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))))
114113eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑔 = (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) → ((𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0))
115 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
116115ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
117103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
118117mptexd 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) ∈ V)
119 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
120104ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → (𝑓𝑥) ∈ ℕ)
121 nnm1nn0 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑓𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑓𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
123122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑦𝑅) → ((𝑓𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
124107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
125124ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑦𝑅) → (𝑓𝑦) ∈ ℕ0)
126123, 125ifcld 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑦𝑅) → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)) ∈ ℕ0)
127126fmpttd 6871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0)
128 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
129 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑥𝑅)
130 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑘𝑅) → (𝑓𝑘) ∈ ℕ)
1311303ad2antl2 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑓𝑘) ∈ ℕ)
132131nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑓𝑘) ∈ ℂ)
133132subid1d 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → ((𝑓𝑘) − 0) = (𝑓𝑘))
134133ifeq2d 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), ((𝑓𝑘) − 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), (𝑓𝑘)))
135 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 = 𝑥 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑥))
136135adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑥))
137136oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑓𝑘) − 1) = ((𝑓𝑥) − 1))
138137ifeq1da 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), (𝑓𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
139134, 138eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), ((𝑓𝑘) − 0)))
140 ovif2 7241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), ((𝑓𝑘) − 0))
141139, 140syl6eqr 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = ((𝑓𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
142141sumeq2dv 15048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = Σ𝑘𝑅 ((𝑓𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
143 simp1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
144 0cn 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 0 ∈ ℂ
145109, 144ifcli 4509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ)
147143, 132, 146fsumsub 15131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 ((𝑓𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
148 elsng 4571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑘𝑅 → (𝑘 ∈ {𝑥} ↔ 𝑘 = 𝑥))
149148ifbid 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑘𝑅 → if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = if(𝑘 = 𝑥, 1, 0))
150149sumeq2i 15044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Σ𝑘𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)
151 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → 𝑥𝑅)
152151snssd 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → {𝑥} ⊆ 𝑅)
153 sumhash 16220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑅 ∈ Fin ∧ {𝑥} ⊆ 𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (♯‘{𝑥}))
154143, 152, 153syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (♯‘{𝑥}))
155 hashsng 13718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥𝑅 → (♯‘{𝑥}) = 1)
156151, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → (♯‘{𝑥}) = 1)
157154, 156eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = 1)
158150, 157syl5eqr 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) = 1)
159158oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − 1))
160142, 147, 1593eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − 1))
161117, 128, 129, 160syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − 1))
162 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))
163162oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
164 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
165164ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑛 ∈ ℕ0)
166165nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑛 ∈ ℂ)
167 pncan 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
168166, 109, 167sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
169161, 163, 1683eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛)
170127, 169jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛))
171 feq1 6488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (:𝑅⟶ℕ0 ↔ (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0))
172 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (𝑘) = ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))‘𝑘))
173 equequ1 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 = 𝑥𝑘 = 𝑥))
174 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑦 = 𝑘 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑘))
175173, 174ifbieq2d 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 = 𝑘 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
176 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))
177 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑓𝑥) − 1) ∈ V
178 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑓𝑘) ∈ V
179177, 178ifex 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) ∈ V
180175, 176, 179fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑘𝑅 → ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
181172, 180sylan9eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
182181sumeq2dv 15048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
183182eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛 ↔ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛))
184171, 183anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) ↔ ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛)))
185 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))
186185eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) ∈ ℕ0))
187184, 186imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ (((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) ∈ ℕ0)))
188187spcgv 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) ∈ V → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → (((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) ∈ ℕ0)))
189118, 119, 170, 188syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) ∈ ℕ0)
190189fmpttd 6871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))):𝑅⟶ℕ0)
191 elmapg 8408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) ∈ (ℕ0m 𝑅) ↔ (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))):𝑅⟶ℕ0))
1921, 103, 191sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) ∈ (ℕ0m 𝑅) ↔ (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))):𝑅⟶ℕ0))
193190, 192mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) ∈ (ℕ0m 𝑅))
194114, 116, 193rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0)
195112, 194eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0)
196 peano2nn0 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0 → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0)
197195, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0)
198 nn0p1nn 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
199100, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
200199ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
201 equequ1 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 = 𝑥𝑤 = 𝑥))
202 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 = 𝑤 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑤))
203201, 202ifbieq2d 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 = 𝑤 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)) = if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑤)))
204203cbvmptv 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) = (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑤)))
205 eqeq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑧))
206 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 = 𝑧 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑧))
207206oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓𝑥) − 1) = ((𝑓𝑧) − 1))
208205, 207ifbieq1d 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑤)) = if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤)))
209208mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑤))) = (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤))))
210204, 209syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) = (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤))))
211210oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤)))))
212211cbvmptv 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) = (𝑧𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤)))))
213200, 103, 104, 212, 190, 195ramub1 16352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1))
214 ramubcl 16342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) ∧ (((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
215102, 103, 107, 197, 213, 214syl32anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
216215expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
217216adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
21899, 217sylbird 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
219 rexnal 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑥𝑅 ¬ (𝑓𝑥) ∈ ℕ ↔ ¬ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ)
220 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
221220ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → (𝑓𝑥) ∈ ℕ0)
222 elnn0 11887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑓𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓𝑥) = 0))
223221, 222sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑓𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓𝑥) = 0))
224223ord 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → (¬ (𝑓𝑥) ∈ ℕ → (𝑓𝑥) = 0))
225199ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
226 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑅 ∈ Fin)
227225, 226, 2203jca 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0))
228 ramz2 16348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑥𝑅 ∧ (𝑓𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
229227, 228sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥𝑅 ∧ (𝑓𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
230229, 86syl6eqel 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥𝑅 ∧ (𝑓𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
231230expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑓𝑥) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
232224, 231syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → (¬ (𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
233232rexlimdva 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∃𝑥𝑅 ¬ (𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
234219, 233syl5bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (¬ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
235218, 234pm2.61d 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
236235exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
237236alrimdv 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
238 feq1 6488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( = 𝑓 → (:𝑅⟶ℕ0𝑓:𝑅⟶ℕ0))
239 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( = 𝑓 → (𝑘) = (𝑓𝑘))
240239sumeq2sdv 15049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ( = 𝑓 → Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘))
241240eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( = 𝑓 → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1) ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)))
242238, 241anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( = 𝑓 → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))))
243 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( = 𝑓 → ((𝑚 + 1) Ramsey ) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
244243eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( = 𝑓 → (((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
245242, 244imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( = 𝑓 → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
246245cbvalvw 2034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
247237, 246syl6ibr 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
248247anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
249248expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
250249a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
25136, 41, 46, 51, 94, 250nn0ind 12065 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑅 (𝑓𝑘) ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
252251com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) ∈ ℕ0 → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
253252adantrl 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) ∈ ℕ0 → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
25431, 253mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
255240biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑓 → (:𝑅⟶ℕ0 ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘))))
256255, 238bitr3d 282 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑓 → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ0))
257256, 244imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑓 → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
258257spvv 1994 . . . . . . . . . . . 12 (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → (𝑓:𝑅⟶ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
259254, 29, 258sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
260259expr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)) → (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
261260ralrimdva 3186 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
26227, 261syl5bi 243 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
263262expcom 414 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ Fin → (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
264263a2d 29 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
2658, 12, 16, 20, 24, 264nn0ind 12065 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
266265imp 407 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
267 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑀 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝐹))
268267eleq1d 2894 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
269268rspccv 3617 . . . 4 (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
270266, 269syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
2714, 270sylbird 261 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
2722713impia 1109 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079  wal 1526   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  Fincfn 8497  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  chash 13678  Σcsu 15030   Ramsey cram 16323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-ram 16325
This theorem is referenced by:  ramsey  16354
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