Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramlb 15704
 Description: Establish a lower bound on a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramlb.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})
ramlb.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
ramlb.r (𝜑𝑅𝑉)
ramlb.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramlb.s (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
ramlb.g (𝜑𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
ramlb.i ((𝜑 ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → (#‘𝑥) < (𝐹𝑐)))
Assertion
Ref Expression
ramlb (𝜑𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐶   𝐹,𝑐,𝑥   𝐺,𝑐,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑖,𝑥,𝑀   𝜑,𝑐,𝑥   𝑁,𝑐,𝑥   𝑅,𝑐,𝑥   𝑉,𝑐,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramlb
StepHypRef Expression
1 ramlb.c . . . . 5 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})
2 ramlb.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 ramlb.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑉)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑅𝑉)
6 ramlb.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
8 ramlb.s . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
11 ramubcl 15703 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
123, 5, 7, 9, 10, 11syl32anc 1332 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
13 fzfid 12755 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
14 hashfz1 13117 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
158, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
1615breq2d 4656 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (#‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
1716biimpar 502 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (#‘(1...𝑁)))
18 ramlb.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
1918adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
201, 3, 5, 7, 12, 13, 17, 19rami 15700 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})))
21 elpwi 4159 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁) → 𝑥 ⊆ (1...𝑁))
22 ramlb.i . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → (#‘𝑥) < (𝐹𝑐)))
2322adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → (#‘𝑥) < (𝐹𝑐)))
24 fzfid 12755 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
25 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → 𝑥 ⊆ (1...𝑁))
26 ssfi 8165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁)) → 𝑥 ∈ Fin)
2724, 25, 26syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → 𝑥 ∈ Fin)
28 hashcl 13130 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝑥) ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (#‘𝑥) ∈ ℕ0)
3029nn0red 11337 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (#‘𝑥) ∈ ℝ)
31 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁)) → 𝑐𝑅)
32 ffvelrn 6343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑅⟶ℕ0𝑐𝑅) → (𝐹𝑐) ∈ ℕ0)
337, 31, 32syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (𝐹𝑐) ∈ ℕ0)
3433nn0red 11337 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (𝐹𝑐) ∈ ℝ)
3530, 34ltnled 10169 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((#‘𝑥) < (𝐹𝑐) ↔ ¬ (𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥)))
3623, 35sylibd 229 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → ¬ (𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥)))
3721, 36sylanr2 684 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → ¬ (𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥)))
3837con2d 129 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥) → ¬ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})))
39 imnan 438 . . . . . . 7 (((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥) → ¬ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})) ↔ ¬ ((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})))
4038, 39sylib 208 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ¬ ((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})))
4140pm2.21d 118 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → (((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
4241rexlimdvva 3034 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
4320, 42mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
4443pm2.01da 458 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
458nn0red 11337 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
4645rexrd 10074 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
47 ramxrcl 15702 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
482, 4, 6, 47syl3anc 1324 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
49 xrltnle 10090 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*) → (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
5046, 48, 49syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
5144, 50mpbird 247 1 (𝜑𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∃wrex 2910  {crab 2913  Vcvv 3195   ⊆ wss 3567  𝒫 cpw 4149  {csn 4168   class class class wbr 4644  ◡ccnv 5103   “ cima 5107  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635   ↦ cmpt2 6637  Fincfn 7940  1c1 9922  ℝ*cxr 10058   < clt 10059   ≤ cle 10060  ℕ0cn0 11277  ...cfz 12311  #chash 13100   Ramsey cram 15684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-hash 13101  df-ram 15686 This theorem is referenced by:  0ram  15705  ram0  15707
 Copyright terms: Public domain W3C validator