MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramub1 15656
Description: Inductive step for Ramsey's theorem, in the form of an explicit upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ramub1.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
ramub1.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ)
ramub1.g 𝐺 = (𝑥𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))))
ramub1.1 (𝜑𝐺:𝑅⟶ℕ0)
ramub1.2 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
ramub1 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ramub1
Dummy variables 𝑢 𝑐 𝑓 𝑠 𝑣 𝑤 𝑧 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . 2 (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})
2 ramub1.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11295 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 ramub1.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
5 ramub1.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ)
6 nnssnn0 11239 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
7 fss 6013 . . 3 ((𝐹:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
85, 6, 7sylancl 693 . 2 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
9 ramub1.2 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
10 peano2nn0 11277 . . 3 (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ0)
12 simprl 793 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
139adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
14 nn0p1nn 11276 . . . . . . 7 (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ)
1612, 15eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (#‘𝑠) ∈ ℕ)
1716nnnn0d 11295 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (#‘𝑠) ∈ ℕ0)
18 vex 3189 . . . . . . . 8 𝑠 ∈ V
19 hashclb 13089 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ Fin ↔ (#‘𝑠) ∈ ℕ0))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ Fin ↔ (#‘𝑠) ∈ ℕ0)
2117, 20sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑠 ∈ Fin)
22 hashnncl 13097 . . . . . 6 (𝑠 ∈ Fin → ((#‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ((#‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2416, 23mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑠 ≠ ∅)
25 n0 3907 . . . 4 (𝑠 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑠)
2624, 25sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑤 𝑤𝑠)
272adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑀 ∈ ℕ)
284adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑅 ∈ Fin)
295adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
30 ramub1.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))))
31 ramub1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑅⟶ℕ0)
3231adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
339adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
3421adantrr 752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑠 ∈ Fin)
35 simprll 801 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → (#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
36 simprlr 802 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)
37 simprr 795 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑤𝑠)
38 uneq1 3738 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 ∪ {𝑤}) = (𝑢 ∪ {𝑤}))
3938fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑢 → (𝑓‘(𝑣 ∪ {𝑤})) = (𝑓‘(𝑢 ∪ {𝑤})))
4039cbvmptv 4710 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ((𝑠 ∖ {𝑤})(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})(𝑀 − 1)) ↦ (𝑓‘(𝑣 ∪ {𝑤}))) = (𝑢 ∈ ((𝑠 ∖ {𝑤})(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})(𝑀 − 1)) ↦ (𝑓‘(𝑢 ∪ {𝑤})))
4127, 28, 29, 30, 32, 33, 1, 34, 35, 36, 37, 40ramub1lem2 15655 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
4241expr 642 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (𝑤𝑠 → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
4342exlimdv 1858 . . 3 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (∃𝑤 𝑤𝑠 → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
4426, 43mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
451, 3, 4, 8, 11, 44ramub2 15642 1 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ccnv 5073  cima 5077  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  Fincfn 7899  1c1 9881   + caddc 9883  cle 10019  cmin 10210  cn 10964  0cn0 11236  #chash 13057   Ramsey cram 15627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058  df-ram 15629
This theorem is referenced by:  ramcl  15657
  Copyright terms: Public domain W3C validator