MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramub2 16338
Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
rami.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
rami.r (𝜑𝑅𝑉)
rami.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramub2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
ramub2.i ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
Assertion
Ref Expression
ramub2 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑠,𝑥,𝐶   𝜑,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝐹,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑁,𝑎,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramub2
Dummy variables 𝑔 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.c . 2 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 rami.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3 rami.r . 2 (𝜑𝑅𝑉)
4 rami.f . 2 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
5 ramub2.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
65adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 hashfz1 13694 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
9 simprl 767 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑡))
108, 9eqbrtrd 5079 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡))
11 fzfid 13329 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
12 vex 3495 . . . . . 6 𝑡 ∈ V
13 hashdom 13728 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
1411, 12, 13sylancl 586 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
1510, 14mpbid 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ≼ 𝑡)
1612domen 8510 . . . 4 ((1...𝑁) ≼ 𝑡 ↔ ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡))
1715, 16sylib 219 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡))
18 simpll 763 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝜑)
19 ensym 8546 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠 ≈ (1...𝑁))
2019ad2antrl 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑠 ≈ (1...𝑁))
21 hasheni 13696 . . . . . . 7 (𝑠 ≈ (1...𝑁) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
235ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2423, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
2522, 24eqtrd 2853 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (♯‘𝑠) = 𝑁)
26 simplrr 774 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)
27 simprr 769 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑠𝑡)
282ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
291hashbcss 16328 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ V ∧ 𝑠𝑡𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
3012, 27, 28, 29mp3an2i 1457 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
3126, 30fssresd 6538 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)
32 vex 3495 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
3332resex 5892 . . . . . 6 (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) ∈ V
34 feq1 6488 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅 ↔ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))
3534anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅) ↔ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)))
3635anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) ↔ (𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))))
37 cnveq 5737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → 𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)))
3837imaeq1d 5921 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓 “ {𝑐}) = ((𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}))
39 cnvresima 6080 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}) = ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))
4038, 39syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓 “ {𝑐}) = ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
4140sseq2d 3996 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
4241anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})) ↔ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
43422rexbidv 3297 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})) ↔ ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
4436, 43imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))) ↔ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))))
45 ramub2.i . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
4633, 44, 45vtocl 3557 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
4718, 25, 31, 46syl12anc 832 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
48 sstr 3972 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑠𝑠𝑡) → 𝑥𝑡)
4948expcom 414 . . . . . . . . 9 (𝑠𝑡 → (𝑥𝑠𝑥𝑡))
5049ad2antll 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑥𝑠𝑥𝑡))
51 velpw 4543 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
52 velpw 4543 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡𝑥𝑡)
5350, 51, 523imtr4g 297 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥 ∈ 𝒫 𝑡))
54 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
55 inss1 4202 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})
5654, 55sstrdi 3976 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))
5756a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))
5857anim2d 611 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))))
5953, 58anim12d 608 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))))
6059reximdv2 3268 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))))
6160reximdv 3270 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))))
6247, 61mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))
6317, 62exlimddv 1927 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))
641, 2, 3, 4, 5, 63ramub 16337 1 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   class class class wbr 5057  ccnv 5547  cres 5550  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  cen 8494  cdom 8495  Fincfn 8497  1c1 10526  cle 10664  0cn0 11885  ...cfz 12880  chash 13678   Ramsey cram 16323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679  df-ram 16325
This theorem is referenced by:  ramub1  16352
  Copyright terms: Public domain W3C validator