MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankon 8518
Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankon (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon
StepHypRef Expression
1 rankf 8517 . 2 rank: (𝑅1 “ On)⟶On
2 0elon 5681 . 2 ∅ ∈ On
31, 2f0cli 6263 1 (rank‘𝐴) ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976   cuni 4366  cima 5031  Oncon0 5626  cfv 5790  𝑅1cr1 8485  rankcrnk 8486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-r1 8487  df-rank 8488
This theorem is referenced by:  rankr1ai  8521  rankr1bg  8526  rankr1clem  8543  rankr1c  8544  rankpwi  8546  rankelb  8547  wfelirr  8548  rankval3b  8549  ranksnb  8550  rankr1a  8559  bndrank  8564  unbndrank  8565  rankunb  8573  rankprb  8574  rankuni2b  8576  rankuni  8586  rankuniss  8589  rankval4  8590  rankbnd2  8592  rankc1  8593  rankc2  8594  rankelun  8595  rankelpr  8596  rankelop  8597  rankmapu  8601  rankxplim  8602  rankxplim3  8604  rankxpsuc  8605  tcrank  8607  scottex  8608  scott0  8609  dfac12lem2  8826  hsmexlem5  9112  r1limwun  9414  wunex3  9419  rankcf  9455  grur1  9498  elhf2  31258  hfuni  31267  dfac11  36446
  Copyright terms: Public domain W3C validator