Theorem rankon 9227

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9226	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6247	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 6867	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ∪ cuni 4841   “ cima 5561  Oncon0 6194  ‘cfv 6358  𝑅₁cr1 9194  rankcrnk 9195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-r1 9196  df-rank 9197

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9230  rankr1bg  9235  rankr1clem  9252  rankr1c  9253  rankpwi  9255  rankelb  9256  wfelirr  9257  rankval3b  9258  ranksnb  9259  rankr1a  9268  bndrank  9273  unbndrank  9274  rankunb  9282  rankprb  9283  rankuni2b  9285  rankuni  9295  rankuniss  9298  rankval4  9299  rankbnd2  9301  rankc1  9302  rankc2  9303  rankelun  9304  rankelpr  9305  rankelop  9306  rankmapu  9310  rankxplim  9311  rankxplim3  9313  rankxpsuc  9314  tcrank  9316  scottex  9317  scott0  9318  dfac12lem2  9573  hsmexlem5  9855  r1limwun  10161  wunex3  10166  rankcf  10202  grur1  10245  elhf2  33640  hfuni  33649  dfac11  39668  gruex  40640