Theorem rankval 8624

Description: Value of the rank function. Definition 9.14 of [TakeutiZaring] p. 79 (proved as a theorem from our definition). (Contributed by NM, 24-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankval.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankval	⊢ (rank‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rankval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankval.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 8621	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2703	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		rankvalb 8605	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)})
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (rank‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)}

Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  {crab 2916  Vcvv 3191  ∪ cuni 4407  ∩ cint 4445   “ cima 5082  Oncon0 5685  suc csuc 5687  ‘cfv 5850  𝑅₁cr1 8570  rankcrnk 8571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-reg 8442  ax-inf2 8483

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-r1 8572  df-rank 8573

This theorem is referenced by:  rankvalg  8625  rankeq1o  31893