MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankval2 8719
Description: Value of an alternate definition of the rank function. Definition of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 8-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
rankval2 (𝐴𝐵 → (rank‘𝐴) = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥)})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rankval2
StepHypRef Expression
1 rankvalg 8718 . 2 (𝐴𝐵 → (rank‘𝐴) = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)})
2 r1suc 8671 . . . . . 6 (𝑥 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
32eleq2d 2716 . . . . 5 (𝑥 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝑥)))
4 fvex 6239 . . . . . 6 (𝑅1𝑥) ∈ V
54elpw2 4858 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝑥) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥))
63, 5syl6bb 276 . . . 4 (𝑥 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥)))
76rabbiia 3215 . . 3 {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥)}
87inteqi 4511 . 2 {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥)}
91, 8syl6eq 2701 1 (𝐴𝐵 → (rank‘𝐴) = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  wss 3607  𝒫 cpw 4191   cint 4507  Oncon0 5761  suc csuc 5763  cfv 5926  𝑅1cr1 8663  rankcrnk 8664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-reg 8538  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-r1 8665  df-rank 8666
This theorem is referenced by:  rankval4  8768
  Copyright terms: Public domain W3C validator