MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rdgsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rdgsuc 7565
Description: The value of the recursive definition generator at a successor. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rdgsuc (𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))

Proof of Theorem rdgsuc
StepHypRef Expression
1 rdgfnon 7559 . . . 4 rec(𝐹, 𝐴) Fn On
2 fndm 6028 . . . 4 (rec(𝐹, 𝐴) Fn On → dom rec(𝐹, 𝐴) = On)
31, 2ax-mp 5 . . 3 dom rec(𝐹, 𝐴) = On
43eleq2i 2722 . 2 (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ On)
5 rdgsucg 7564 . 2 (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
64, 5sylbir 225 1 (𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  dom cdm 5143  Oncon0 5761  suc csuc 5763   Fn wfn 5921  cfv 5926  reccrdg 7550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551
This theorem is referenced by:  rdgsucmptf  7569  oasuc  7649  omsuc  7651  oesuc  7652  alephsuc  8929  ackbij2lem3  9101  rdgprc  31824  findreccl  32577  rdgsucuni  33347  rdgeqoa  33348  finxpreclem4  33361  finxpreclem6  33363
  Copyright terms: Public domain W3C validator