Theorem rdgsucuni 33520

Description: If an ordinal number has a predecessor, the value of the recursive definition generator at that number in terms of its predecessor. (Contributed by ML, 17-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgsucuni	⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘∪ 𝐵)))

Proof of Theorem rdgsucuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsucuni3 33518	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → 𝐵 = suc ∪ 𝐵)
2	1	fveq2d 6348	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵) = (rec(𝐹, 𝐼)‘suc ∪ 𝐵))
3		onuni 7150	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → ∪ 𝐵 ∈ On)
4	3	3ad2ant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → ∪ 𝐵 ∈ On)
5		rdgsuc 7681	. . 3 ⊢ (∪ 𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐼)‘suc ∪ 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘∪ 𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐼)‘suc ∪ 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘∪ 𝐵)))
7	2, 6	eqtrd 2786	1 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘∪ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∅c0 4050  ∪ cuni 4580  Oncon0 5876  Lim wlim 5877  suc csuc 5878  ‘cfv 6041  reccrdg 7666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667

This theorem is referenced by:  finxp1o  33532  finxpreclem4  33534