Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rdivmuldivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rdivmuldivd 28923
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p + = (+g𝑅)
dvrdir.t / = (/r𝑅)
rdivmuldivd.p · = (.r𝑅)
rdivmuldivd.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a (𝜑𝑋𝐵)
rdivmuldivd.b (𝜑𝑌𝑈)
rdivmuldivd.c (𝜑𝑍𝐵)
rdivmuldivd.d (𝜑𝑊𝑈)
Assertion
Ref Expression
rdivmuldivd (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem rdivmuldivd
StepHypRef Expression
1 rdivmuldivd.a . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
2 rdivmuldivd.b . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
3 dvrdir.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 rdivmuldivd.p . . . . . 6 · = (.r𝑅)
5 dvrdir.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6 eqid 2604 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
7 dvrdir.t . . . . . 6 / = (/r𝑅)
83, 4, 5, 6, 7dvrval 18449 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
98oveq1d 6537 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
101, 2, 9syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
11 rdivmuldivd.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
12 crngring 18322 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
143, 5unitss 18424 . . . . 5 𝑈𝐵
155, 6unitinvcl 18438 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
1613, 2, 15syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
1714, 16sseldi 3560 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
18 rdivmuldivd.c . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
19 rdivmuldivd.d . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
203, 5, 7dvrcl 18450 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵𝑊𝑈) → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
223, 4ringass 18328 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
2313, 1, 17, 21, 22syl13anc 1319 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
243, 4crngcom 18326 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵) → (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
2511, 17, 21, 24syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
2625oveq2d 6538 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
2710, 23, 263eqtrd 2642 . 2 (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
28 eqid 2604 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
295, 28unitgrp 18431 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
3013, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
315, 28unitgrpbas 18430 . . . . . . 7 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
32 eqid 2604 . . . . . . 7 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
335, 28, 6invrfval 18437 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
3431, 32, 33grpinvadd 17257 . . . . . 6 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌𝑈𝑊𝑈) → ((invr𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr𝑅)‘𝑌)))
3530, 2, 19, 34syl3anc 1317 . . . . 5 (𝜑 → ((invr𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr𝑅)‘𝑌)))
36 fvex 6093 . . . . . . . . . . 11 (Unit‘𝑅) ∈ V
375, 36eqeltri 2678 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ V
38 eqid 2604 . . . . . . . . . . 11 (𝑅s 𝑈) = (𝑅s 𝑈)
39 eqid 2604 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4038, 39mgpress 18264 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅s 𝑈)))
4113, 37, 40sylancl 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅s 𝑈)))
4241fveq2d 6087 . . . . . . . 8 (𝜑 → (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝑈))))
43 eqid 2604 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘(𝑅s 𝑈)) = (mulGrp‘(𝑅s 𝑈))
4438, 4ressmulr 15770 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ V → · = (.r‘(𝑅s 𝑈)))
4537, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9 · = (.r‘(𝑅s 𝑈))
4643, 45mgpplusg 18257 . . . . . . . 8 · = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝑈)))
4742, 46syl6reqr 2657 . . . . . . 7 (𝜑· = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
4847oveqd 6539 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) = (𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊))
4948fveq2d 6087 . . . . 5 (𝜑 → ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = ((invr𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
5047oveqd 6539 . . . . 5 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (((invr𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr𝑅)‘𝑌)))
5135, 49, 503eqtr4d 2648 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
5251oveq2d 6538 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
533, 4ringcl 18325 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
5413, 1, 18, 53syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
555, 4unitmulcl 18428 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈𝑊𝑈) → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
5613, 2, 19, 55syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
573, 4, 5, 6, 7dvrval 18449 . . . 4 (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
5854, 56, 57syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
595, 6unitinvcl 18438 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
6013, 19, 59syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
6114, 60sseldi 3560 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)
623, 4ringass 18328 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊))))
6313, 1, 18, 61, 62syl13anc 1319 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊))))
643, 4, 5, 6, 7dvrval 18449 . . . . . . . 8 ((𝑍𝐵𝑊𝑈) → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊)))
6518, 19, 64syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊)))
6665oveq2d 6538 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊))))
6763, 66eqtr4d 2641 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)))
6867oveq1d 6537 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
693, 4ringass 18328 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7013, 54, 61, 17, 69syl13anc 1319 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
713, 4ringass 18328 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7213, 1, 21, 17, 71syl13anc 1319 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7368, 70, 723eqtr3rd 2647 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7452, 58, 733eqtr4rd 2649 . 2 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
7527, 74eqtrd 2638 1 (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3167  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  s cress 15637  +gcplusg 15709  .rcmulr 15710  Grpcgrp 17186  mulGrpcmgp 18253  Ringcrg 18311  CRingccrg 18312  Unitcui 18403  invrcinvr 18435  /rcdvr 18446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-tpos 7211  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-0g 15866  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-cmn 17959  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-cring 18314  df-oppr 18387  df-dvdsr 18405  df-unit 18406  df-invr 18436  df-dvr 18447
This theorem is referenced by:  qqhrhm  29162
  Copyright terms: Public domain W3C validator