MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  re2ndc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem re2ndc 22544
Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
re2ndc (topGen‘ran (,)) ∈ 2nd𝜔

Proof of Theorem re2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
21tgqioo 22543 . 2 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
3 qtopbas 22503 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
4 omelon 8503 . . . . . 6 ω ∈ On
5 qnnen 14886 . . . . . . . . 9 ℚ ≈ ℕ
6 xpen 8083 . . . . . . . . 9 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
75, 5, 6mp2an 707 . . . . . . . 8 (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
8 xpnnen 14883 . . . . . . . 8 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
97, 8entri 7970 . . . . . . 7 (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
10 nnenom 12735 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
119, 10entr2i 7971 . . . . . 6 ω ≈ (ℚ × ℚ)
12 isnumi 8732 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
134, 11, 12mp2an 707 . . . . 5 (ℚ × ℚ) ∈ dom card
14 ioof 12229 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15 ffun 6015 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 Fun (,)
17 qssre 11758 . . . . . . . . 9 ℚ ⊆ ℝ
18 ressxr 10043 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
1917, 18sstri 3597 . . . . . . . 8 ℚ ⊆ ℝ*
20 xpss12 5196 . . . . . . . 8 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2119, 19, 20mp2an 707 . . . . . . 7 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2214fdmi 6019 . . . . . . 7 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2321, 22sseqtr4i 3623 . . . . . 6 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
24 fores 6091 . . . . . 6 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
2516, 23, 24mp2an 707 . . . . 5 ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
26 fodomnum 8840 . . . . 5 ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
2713, 25, 26mp2 9 . . . 4 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
289, 10entri 7970 . . . 4 (ℚ × ℚ) ≈ ω
29 domentr 7975 . . . 4 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ω) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
3027, 28, 29mp2an 707 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω
31 2ndci 21191 . . 3 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2nd𝜔)
323, 30, 31mp2an 707 . 2 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2nd𝜔
332, 32eqeltri 2694 1 (topGen‘ran (,)) ∈ 2nd𝜔
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  wss 3560  𝒫 cpw 4136   class class class wbr 4623   × cxp 5082  dom cdm 5084  ran crn 5085  cres 5086  cima 5087  Oncon0 5692  Fun wfun 5851  wf 5853  ontowfo 5855  cfv 5857  ωcom 7027  cen 7912  cdom 7913  cardccrd 8721  cr 9895  *cxr 10033  cn 10980  cq 11748  (,)cioo 12133  topGenctg 16038  TopBasesctb 20689  2nd𝜔c2ndc 21181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-ioo 12137  df-topgen 16044  df-bases 20690  df-2ndc 21183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator