MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rebtwnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rebtwnz 11619
Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number. Exercise 4 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
rebtwnz (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rebtwnz
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 10195 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 zbtwnre 11618 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)))
4 znegcl 11245 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5 znegcl 11245 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6 zcn 11215 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7 zcn 11215 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8 negcon2 10185 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = -𝑥𝑥 = -𝑦))
96, 7, 8syl2an 492 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 = -𝑥𝑥 = -𝑦))
105, 9reuhyp 4817 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = -𝑥)
11 breq2 4581 . . . . 5 (𝑦 = -𝑥 → (-𝐴𝑦 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12 breq1 4580 . . . . 5 (𝑦 = -𝑥 → (𝑦 < (-𝐴 + 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
1311, 12anbi12d 742 . . . 4 (𝑦 = -𝑥 → ((-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
144, 10, 13reuxfr 4815 . . 3 (∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
15 zre 11214 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
16 leneg 10380 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
1716ancoms 467 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
18 peano2rem 10199 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
19 ltneg 10377 . . . . . . . . 9 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
2018, 19sylan 486 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
21 1re 9895 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
22 ltsubadd 10347 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥𝐴 < (𝑥 + 1)))
2321, 22mp3an2 1403 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥𝐴 < (𝑥 + 1)))
24 recn 9882 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
26 negsubdi 10188 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
2724, 25, 26sylancl 692 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
2827adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
2928breq2d 4589 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 < -(𝐴 − 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
3020, 23, 293bitr3d 296 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
3117, 30anbi12d 742 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
3215, 31sylan2 489 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
3332bicomd 211 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)) ↔ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
3433reubidva 3101 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
3514, 34syl5bb 270 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
363, 35mpbid 220 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  ∃!wreu 2897   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118  cz 11210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520
This theorem is referenced by:  flcl  12413  fllelt  12415  flflp1  12425  flbi  12434  ltflcei  32363
  Copyright terms: Public domain W3C validator