MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recan 14010
Description: Cancellation law involving the real part of a complex number. (Contributed by NM, 12-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
recan ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem recan
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9938 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2 oveq1 6611 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
32fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐴)))
4 oveq1 6611 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝐵) = (1 · 𝐵))
54fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
63, 5eqeq12d 2636 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵))))
76rspcv 3291 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵))))
81, 7ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(1 · 𝐴)) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
9 negicn 10226 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
10 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -i → (𝑥 · 𝐴) = (-i · 𝐴))
1110fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑥 = -i → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
12 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -i → (𝑥 · 𝐵) = (-i · 𝐵))
1312fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑥 = -i → (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
1411, 13eqeq12d 2636 . . . . . . 7 (𝑥 = -i → ((ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵))))
1514rspcv 3291 . . . . . 6 (-i ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵))))
169, 15ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (ℜ‘(-i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
1716oveq2d 6620 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → (i · (ℜ‘(-i · 𝐴))) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))
188, 17oveq12d 6622 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
19 replim 13790 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
20 mulid2 9982 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2120eqcomd 2627 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (1 · 𝐴))
2221fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘(1 · 𝐴)))
23 imre 13782 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
2423oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐴))))
2522, 24oveq12d 6622 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))))
2619, 25eqtrd 2655 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))))
27 replim 13790 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
28 mulid2 9982 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2928eqcomd 2627 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = (1 · 𝐵))
3029fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) = (ℜ‘(1 · 𝐵)))
31 imre 13782 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(-i · 𝐵)))
3231oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐵)) = (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))
3330, 32oveq12d 6622 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
3427, 33eqtrd 2655 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵)))))
3526, 34eqeqan12d 2637 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ((ℜ‘(1 · 𝐴)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(1 · 𝐵)) + (i · (ℜ‘(-i · 𝐵))))))
3618, 35syl5ibr 236 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵))
37 oveq2 6612 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐵))
3837fveq2d 6152 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)))
3938ralrimivw 2961 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)))
4036, 39impbid1 215 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (ℜ‘(𝑥 · 𝐴)) = (ℜ‘(𝑥 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881  ici 9882   + caddc 9883   · cmul 9885  -cneg 10211  cre 13771  cim 13772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775
This theorem is referenced by:  lnopunilem2  28716
  Copyright terms: Public domain W3C validator