MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reccl 10537
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
reccl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccl
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9846 . 2 1 ∈ ℂ
2 divcl 10536 . 2 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mp3an1 1402 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1975  wne 2775  (class class class)co 6523  cc 9786  0cc0 9788  1c1 9789   / cdiv 10529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530
This theorem is referenced by:  divrec  10546  divrec2  10547  divass  10548  divdir  10555  divneg  10564  recrec  10567  rec11  10568  divdiv32  10578  conjmul  10587  recclzi  10595  reccld  10639  expclzlem  12697  exprec  12714  expdiv  12724  rlimdiv  14166  geoisumr  14390  cndrng  19536  divcn  22406  divccn  22411  divccncf  22444  dvexp3  23458  quotlem  23772  quotcl2  23774  quotdgr  23775  aareccl  23798  logtayllem  24118  logtayl  24119  cxpeq  24211  logrec  24214  dchrisum0lem2a  24919  dchrisum0lem2  24920  mulogsum  24934  pntlemr  25004  axcontlem2  25559  nvmul0or  26673  hvmul0or  27068  h1datomi  27626  nmopleid  28184
  Copyright terms: Public domain W3C validator