MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reccld 10832
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
reccld (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 reccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 reccl 10730 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   / cdiv 10722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723
This theorem is referenced by:  recgt0  10905  expmulz  12946  rlimdiv  14420  rlimno1  14428  isumdivc  14539  fsumdivc  14562  geolim  14645  georeclim  14647  clim2div  14665  prodfdiv  14672  dvmptdivc  23773  dvmptdiv  23782  dvexp3  23786  logtayl  24451  dvcncxp1  24529  cxpeq  24543  logbrec  24565  ang180lem1  24584  ang180lem2  24585  ang180lem3  24586  isosctrlem2  24594  dvatan  24707  efrlim  24741  amgm  24762  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem3  24802  igamf  24822  igamcl  24823  lgam1  24835  dchrinvcl  25023  dchrabs  25030  2lgslem3c  25168  dchrmusumlem  25256  vmalogdivsum2  25272  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem6  25317  nmlno0lem  27776  nmlnop0iALT  28982  branmfn  29092  leopmul  29121  logdivsqrle  30856  dvtan  33590  dvasin  33626  areacirclem1  33630  areacirclem4  33633  pell14qrdich  37750  mpaaeu  38037  areaquad  38119  hashnzfzclim  38838  binomcxplemnotnn0  38872  oddfl  39803  climrec  40153  climdivf  40162  reclimc  40203  divlimc  40206  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  stoweidlem7  40542  stoweidlem37  40572  wallispilem4  40603  wallispi  40605  wallispi2lem1  40606  stirlinglem1  40609  stirlinglem3  40611  stirlinglem4  40612  stirlinglem5  40613  stirlinglem7  40615  stirlinglem10  40618  stirlinglem11  40619  stirlinglem12  40620  stirlinglem15  40623  dirkertrigeq  40636  fourierdlem30  40672  fourierdlem83  40724  fourierdlem95  40736  seccl  42819  csccl  42820  young2d  42879
  Copyright terms: Public domain W3C validator