MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reccld 10646
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
reccld (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 reccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 reccl 10544 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  wne 2780  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794   / cdiv 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537
This theorem is referenced by:  recgt0  10719  expmulz  12726  rlimdiv  14173  rlimno1  14181  isumdivc  14286  fsumdivc  14309  geolim  14389  georeclim  14391  clim2div  14409  prodfdiv  14416  dvmptdivc  23479  dvexp3  23490  logtayl  24151  dvcncxp1  24229  cxpeq  24243  logbrec  24265  ang180lem1  24284  ang180lem2  24285  ang180lem3  24286  isosctrlem2  24294  dvatan  24407  efrlim  24441  amgm  24462  lgamgulmlem2  24501  lgamgulmlem3  24502  igamf  24522  igamcl  24523  lgam1  24535  dchrinvcl  24723  dchrabs  24730  2lgslem3c  24868  dchrmusumlem  24956  vmalogdivsum2  24972  pntrlog2bndlem2  25012  pntrlog2bndlem6  25017  nmlno0lem  26826  nmlnop0iALT  28032  branmfn  28142  leopmul  28171  dvtan  32424  dvasin  32460  areacirclem1  32464  areacirclem4  32467  pell14qrdich  36245  mpaaeu  36533  areaquad  36615  hashnzfzclim  37337  binomcxplemnotnn0  37371  oddfl  38224  climrec  38464  climdivf  38473  reclimc  38514  divlimc  38517  dvmptdiv  38601  ioodvbdlimc1lem2  38616  ioodvbdlimc2lem  38618  stoweidlem7  38694  stoweidlem37  38724  wallispilem4  38755  wallispi  38757  wallispi2lem1  38758  stirlinglem1  38761  stirlinglem3  38763  stirlinglem4  38764  stirlinglem5  38765  stirlinglem7  38767  stirlinglem10  38770  stirlinglem11  38771  stirlinglem12  38772  stirlinglem15  38775  dirkertrigeq  38788  fourierdlem30  38824  fourierdlem83  38876  fourierdlem95  38888  seccl  42243  csccl  42244  young2d  42313
  Copyright terms: Public domain W3C validator