MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recclnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recclnq 9542
Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recclnq (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)

Proof of Theorem recclnq
StepHypRef Expression
1 recidnq 9541 . . . 4 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
2 1nq 9504 . . . 4 1QQ
31, 2syl6eqel 2600 . . 3 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
4 mulnqf 9525 . . . . 5 ·Q :(Q × Q)⟶Q
54fdmi 5850 . . . 4 dom ·Q = (Q × Q)
6 0nnq 9500 . . . 4 ¬ ∅ ∈ Q
75, 6ndmovrcl 6593 . . 3 ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q → (𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q))
83, 7syl 17 . 2 (𝐴Q → (𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q))
98simprd 477 1 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1938   × cxp 4930  cfv 5689  (class class class)co 6425  Qcnq 9428  1Qc1q 9429   ·Q cmq 9432  *Qcrq 9433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-1o 7322  df-oadd 7326  df-omul 7327  df-er 7504  df-ni 9448  df-mi 9450  df-lti 9451  df-mpq 9485  df-enq 9487  df-nq 9488  df-erq 9489  df-mq 9491  df-1nq 9492  df-rq 9493
This theorem is referenced by:  recrecnq  9543  dmrecnq  9544  halfnq  9552  ltrnq  9555  mulclprlem  9595  prlem934  9609  prlem936  9623  reclem2pr  9624  reclem3pr  9625  reclem4pr  9626
  Copyright terms: Public domain W3C validator