MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recgt0 10905
Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
recgt0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))

Proof of Theorem recgt0
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 10106 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 gt0ne0 10531 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
42, 3recne0d 10833 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
54necomd 2878 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≠ (1 / 𝐴))
65neneqd 2828 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 0 = (1 / 𝐴))
7 0lt1 10588 . . . . 5 0 < 1
8 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
108, 9ltnsymi 10194 . . . . 5 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
117, 10ax-mp 5 . . . 4 ¬ 1 < 0
12 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
133adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ≠ 0)
1412, 13rereccld 10890 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
1514renegcld 10495 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → -(1 / 𝐴) ∈ ℝ)
16 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) < 0)
171, 3rereccld 10890 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
1918lt0neg1d 10635 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
2016, 19mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < -(1 / 𝐴))
21 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < 𝐴)
2215, 12, 20, 21mulgt0d 10230 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
232adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2423, 13reccld 10832 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
2524, 23mulneg1d 10521 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴))
2623, 13recid2d 10835 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
2726negeqd 10313 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
2825, 27eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
2922, 28breqtrd 4711 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < -1)
30 1red 10093 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 1 ∈ ℝ)
3130lt0neg1d 10635 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
3229, 31mpbird 247 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 1 < 0)
3332ex 449 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0))
3411, 33mtoi 190 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
35 ioran 510 . . 3 (¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0) ↔ (¬ 0 = (1 / 𝐴) ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
366, 34, 35sylanbrc 699 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0))
37 axlttri 10147 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
388, 17, 37sylancr 696 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
3936, 38mpbird 247 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  -cneg 10305   / cdiv 10722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723
This theorem is referenced by:  prodgt0  10906  ltdiv1  10925  ltrec1  10948  lerec2  10949  lediv12a  10954  recgt1i  10958  recreclt  10960  recgt0i  10966  recgt0d  10996  nnrecgt0  11096  nnrecl  11328  resqrex  14035  leopmul  29121  cdj1i  29420
  Copyright terms: Public domain W3C validator