MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recgt0ii 11121
Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 𝐴 ∈ ℝ
recgt0i.2 0 < 𝐴
Assertion
Ref Expression
recgt0ii 0 < (1 / 𝐴)

Proof of Theorem recgt0ii
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10186 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2 ltplus1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
32recni 10244 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
4 ax-1ne0 10197 . . . . 5 1 ≠ 0
5 recgt0i.2 . . . . . 6 0 < 𝐴
62, 5gt0ne0ii 10756 . . . . 5 𝐴 ≠ 0
71, 3, 4, 6divne0i 10965 . . . 4 (1 / 𝐴) ≠ 0
87nesymi 2989 . . 3 ¬ 0 = (1 / 𝐴)
9 0lt1 10742 . . . . 5 0 < 1
10 0re 10232 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
11 1re 10231 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
1210, 11ltnsymi 10348 . . . . 5 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
139, 12ax-mp 5 . . . 4 ¬ 1 < 0
142, 6rereccli 10982 . . . . . . . . 9 (1 / 𝐴) ∈ ℝ
1514renegcli 10534 . . . . . . . 8 -(1 / 𝐴) ∈ ℝ
1615, 2mulgt0i 10361 . . . . . . 7 ((0 < -(1 / 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
175, 16mpan2 709 . . . . . 6 (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
1814recni 10244 . . . . . . . 8 (1 / 𝐴) ∈ ℂ
1918, 3mulneg1i 10668 . . . . . . 7 (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴)
203, 6recidi 10948 . . . . . . . . 9 (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1
213, 18, 20mulcomli 10239 . . . . . . . 8 ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1
2221negeqi 10466 . . . . . . 7 -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
2319, 22eqtri 2782 . . . . . 6 (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
2417, 23syl6breq 4845 . . . . 5 (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < -1)
25 lt0neg1 10726 . . . . . 6 ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5 ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴))
27 lt0neg1 10726 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
2811, 27ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 ↔ 0 < -1)
2924, 26, 283imtr4i 281 . . . 4 ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0)
3013, 29mto 188 . . 3 ¬ (1 / 𝐴) < 0
318, 30pm3.2ni 935 . 2 ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)
32 axlttri 10301 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
3310, 14, 32mp2an 710 . 2 (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0))
3431, 33mpbir 221 1 0 < (1 / 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wo 382   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133   < clt 10266  -cneg 10459   / cdiv 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877
This theorem is referenced by:  halfgt0  11440  0.999...  14811  0.999...OLD  14812  sincos2sgn  15123  rpnnen2lem3  15144  rpnnen2lem4  15145  rpnnen2lem9  15150  pcoass  23024  log2tlbnd  24871  stoweidlem34  40754  stoweidlem59  40779
  Copyright terms: Public domain W3C validator