Theorem recld 14547

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 14463	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  ℂcc 10529  ℝcr 10530  ℜcre 14450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11694  df-cj 14452  df-re 14453

This theorem is referenced by:  abstri  14684  sqreulem  14713  eqsqrt2d  14722  rlimrege0  14930  recoscl  15488  cos01bnd  15533  cnsubrg  20599  mbfeqa  24238  mbfss  24241  mbfmulc2re  24243  mbfadd  24256  mbfmulc2  24258  mbflim  24263  mbfmul  24321  iblcn  24393  itgcnval  24394  itgre  24395  itgim  24396  iblneg  24397  itgneg  24398  iblss  24399  itgeqa  24408  iblconst  24412  ibladd  24415  itgadd  24419  iblabs  24423  iblabsr  24424  iblmulc2  24425  itgmulc2  24428  itgabs  24429  itgsplit  24430  dvlip  24584  tanregt0  25117  efif1olem4  25123  eff1olem  25126  lognegb  25167  relog  25174  efiarg  25184  cosarg0d  25186  argregt0  25187  argrege0  25188  abslogle  25195  logcnlem4  25222  cxpsqrtlem  25279  cxpcn3lem  25322  abscxpbnd  25328  cosangneg2d  25379  angrtmuld  25380  lawcoslem1  25387  isosctrlem1  25390  asinlem3a  25442  asinlem3  25443  asinneg  25458  asinsinlem  25463  asinsin  25464  acosbnd  25472  atanlogaddlem  25485  atanlogadd  25486  atanlogsublem  25487  atanlogsub  25488  atantan  25495  o1cxp  25546  cxploglim2  25550  zetacvg  25586  lgamgulmlem2  25601  sqsscirc2  31147  ibladdnc  34943  itgaddnc  34946  iblabsnc  34950  iblmulc2nc  34951  itgmulc2nc  34954  itgabsnc  34955  bddiblnc  34956  ftc1anclem2  34962  ftc1anclem5  34965  ftc1anclem6  34966  ftc1anclem8  34968  cntotbnd  35068  isosctrlem1ALT  41261  iblsplit  42243