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Theorem reclem2pr 9726
Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
Assertion
Ref Expression
reclem2pr (𝐴P𝐵P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem2pr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 9668 . . . . . 6 (𝐴P𝐴Q)
2 pssnel 3990 . . . . . 6 (𝐴Q → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴))
3 recclnq 9644 . . . . . . . . . . 11 (𝑥Q → (*Q𝑥) ∈ Q)
4 nsmallnq 9655 . . . . . . . . . . 11 ((*Q𝑥) ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
65adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
7 recrecnq 9645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥Q → (*Q‘(*Q𝑥)) = 𝑥)
87eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥Q → ((*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴𝑥𝐴))
98notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥Q → (¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
109anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴)))
11 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (*Q𝑥) ∈ V
12 breq2 4581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (*Q𝑥) → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 <Q (*Q𝑥)))
13 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (*Q𝑥) → (*Q𝑦) = (*Q‘(*Q𝑥)))
1413eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (*Q𝑥) → ((*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴))
1514notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (*Q𝑥) → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴))
1612, 15anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (*Q𝑥) → ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴)))
1711, 16spcev 3272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
1810, 17syl6bir 242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
19 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
20 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝑦))
2120anbi1d 736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
2221exbidv 1836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
23 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
2419, 22, 23elab2 3322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
2518, 24syl6ibr 240 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑧𝐵))
2625expcomd 452 . . . . . . . . . . 11 (𝑥Q → (¬ 𝑥𝐴 → (𝑧 <Q (*Q𝑥) → 𝑧𝐵)))
2726imp 443 . . . . . . . . . 10 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑧 <Q (*Q𝑥) → 𝑧𝐵))
2827eximdv 1832 . . . . . . . . 9 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥) → ∃𝑧 𝑧𝐵))
296, 28mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧𝐵)
30 n0 3889 . . . . . . . 8 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐵)
3129, 30sylibr 222 . . . . . . 7 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
3231exlimiv 1844 . . . . . 6 (∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
331, 2, 323syl 18 . . . . 5 (𝐴P𝐵 ≠ ∅)
34 0pss 3964 . . . . 5 (∅ ⊊ 𝐵𝐵 ≠ ∅)
3533, 34sylibr 222 . . . 4 (𝐴P → ∅ ⊊ 𝐵)
36 prn0 9667 . . . . . . 7 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
37 elprnq 9669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝑧𝐴) → 𝑧Q)
38 recrecnq 9645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧Q → (*Q‘(*Q𝑧)) = 𝑧)
3938eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧Q → ((*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴𝑧𝐴))
4039anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P𝑧𝐴)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑧𝐴) → ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P𝑧𝐴)))
42 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . . 14 (*Q𝑧) ∈ V
43 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (*Q𝑧) → (*Q𝑥) = (*Q‘(*Q𝑧)))
4443eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (*Q𝑧) → ((*Q𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴))
4544anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (*Q𝑧) → ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴)))
4642, 45spcev 3272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴))
4741, 46syl6bir 242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝑧𝐴) → ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴)))
4847pm2.43i 49 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴))
49 elprnq 9669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (*Q𝑥) ∈ Q)
50 dmrecnq 9646 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom *Q = Q
51 0nnq 9602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ¬ ∅ ∈ Q
5250, 51ndmfvrcl 6113 . . . . . . . . . . . . . 14 ((*Q𝑥) ∈ Q𝑥Q)
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
54 ltrnq 9657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (*Q𝑦) <Q (*Q𝑥))
55 prcdnq 9671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑦) <Q (*Q𝑥) → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5654, 55syl5bi 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5756alrimiv 1841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5823abeq2i 2721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
59 exanali 1772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
6058, 59bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵 ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
6160con2bii 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝑥𝐵)
6257, 61sylib 206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
6353, 62jca 552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6463eximi 1751 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6548, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6665ex 448 . . . . . . . . 9 (𝐴P → (𝑧𝐴 → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
6766exlimdv 1847 . . . . . . . 8 (𝐴P → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
68 n0 3889 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
69 nss 3625 . . . . . . . 8 Q𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
7067, 68, 693imtr4g 283 . . . . . . 7 (𝐴P → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ Q𝐵))
7136, 70mpd 15 . . . . . 6 (𝐴P → ¬ Q𝐵)
72 ltrelnq 9604 . . . . . . . . . . . 12 <Q ⊆ (Q × Q)
7372brel 5079 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥Q𝑦Q))
7473simpld 473 . . . . . . . . . 10 (𝑥 <Q 𝑦𝑥Q)
7574adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
7675exlimiv 1844 . . . . . . . 8 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
7758, 76sylbi 205 . . . . . . 7 (𝑥𝐵𝑥Q)
7877ssriv 3571 . . . . . 6 𝐵Q
7971, 78jctil 557 . . . . 5 (𝐴P → (𝐵Q ∧ ¬ Q𝐵))
80 dfpss3 3654 . . . . 5 (𝐵Q ↔ (𝐵Q ∧ ¬ Q𝐵))
8179, 80sylibr 222 . . . 4 (𝐴P𝐵Q)
8235, 81jca 552 . . 3 (𝐴P → (∅ ⊊ 𝐵𝐵Q))
83 ltsonq 9647 . . . . . . . . . . . 12 <Q Or Q
8483, 72sotri 5428 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝑦) → 𝑧 <Q 𝑦)
8584ex 448 . . . . . . . . . 10 (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝑦))
8685anim1d 585 . . . . . . . . 9 (𝑧 <Q 𝑥 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
8786eximdv 1832 . . . . . . . 8 (𝑧 <Q 𝑥 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
8887, 58, 243imtr4g 283 . . . . . . 7 (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥𝐵𝑧𝐵))
8988com12 32 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → (𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵))
9089alrimiv 1841 . . . . 5 (𝑥𝐵 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵))
91 nfe1 2013 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)
9291nfab 2754 . . . . . . . . 9 𝑦{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
9323, 92nfcxfr 2748 . . . . . . . 8 𝑦𝐵
94 nfv 1829 . . . . . . . 8 𝑦 𝑥 <Q 𝑧
9593, 94nfrex 2989 . . . . . . 7 𝑦𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧
96 19.8a 2038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
9796, 24sylibr 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧𝐵)
9897adantll 745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧𝐵)
99 simpll 785 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥 <Q 𝑧)
10098, 99jca 552 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧))
101100expcom 449 . . . . . . . . . 10 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → ((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) → (𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
102101eximdv 1832 . . . . . . . . 9 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
103 ltbtwnnq 9656 . . . . . . . . 9 (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦))
104 df-rex 2901 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧))
105102, 103, 1043imtr4g 283 . . . . . . . 8 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
106105impcom 444 . . . . . . 7 ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10795, 106exlimi 2072 . . . . . 6 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10858, 107sylbi 205 . . . . 5 (𝑥𝐵 → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10990, 108jca 552 . . . 4 (𝑥𝐵 → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
110109rgen 2905 . . 3 𝑥𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
11182, 110jctir 558 . 2 (𝐴P → ((∅ ⊊ 𝐵𝐵Q) ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)))
112 elnp 9665 . 2 (𝐵P ↔ ((∅ ⊊ 𝐵𝐵Q) ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)))
113111, 112sylibr 222 1 (𝐴P𝐵P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  wal 1472   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  {cab 2595  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  wss 3539  wpss 3540  c0 3873   class class class wbr 4577  cfv 5789  Qcnq 9530  *Qcrq 9535   <Q cltq 9536  Pcnp 9537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ni 9550  df-pli 9551  df-mi 9552  df-lti 9553  df-plpq 9586  df-mpq 9587  df-ltpq 9588  df-enq 9589  df-nq 9590  df-erq 9591  df-plq 9592  df-mq 9593  df-1nq 9594  df-rq 9595  df-ltnq 9596  df-np 9659
This theorem is referenced by:  reclem3pr  9727  reclem4pr  9728  recexpr  9729
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