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Theorem reclem3pr 9727
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
Assertion
Ref Expression
reclem3pr (𝐴P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem3pr
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-1p 9660 . . . 4 1P = {𝑤𝑤 <Q 1Q}
21abeq2i 2721 . . 3 (𝑤 ∈ 1P𝑤 <Q 1Q)
3 ltrnq 9657 . . . . . . 7 (𝑤 <Q 1Q ↔ (*Q‘1Q) <Q (*Q𝑤))
4 mulcomnq 9631 . . . . . . . . 9 ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
5 1nq 9606 . . . . . . . . . 10 1QQ
6 recclnq 9644 . . . . . . . . . 10 (1QQ → (*Q‘1Q) ∈ Q)
7 mulidnq 9641 . . . . . . . . . 10 ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
9 recidnq 9643 . . . . . . . . . 10 (1QQ → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
114, 8, 103eqtr3i 2639 . . . . . . . 8 (*Q‘1Q) = 1Q
1211breq1i 4584 . . . . . . 7 ((*Q‘1Q) <Q (*Q𝑤) ↔ 1Q <Q (*Q𝑤))
133, 12bitri 262 . . . . . 6 (𝑤 <Q 1Q ↔ 1Q <Q (*Q𝑤))
14 prlem936 9725 . . . . . 6 ((𝐴P ∧ 1Q <Q (*Q𝑤)) → ∃𝑣𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)
1513, 14sylan2b 490 . . . . 5 ((𝐴P𝑤 <Q 1Q) → ∃𝑣𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)
16 prnmax 9673 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑣𝐴) → ∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
1716ad2ant2r 778 . . . . . 6 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
18 elprnq 9669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑣𝐴) → 𝑣Q)
1918ad2ant2r 778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑣Q)
20193adant3 1073 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣Q)
21 simp1r 1078 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 <Q 1Q)
22 ltrelnq 9604 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q ⊆ (Q × Q)
2322brel 5079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 <Q 1Q → (𝑤Q ∧ 1QQ))
2423simpld 473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 <Q 1Q𝑤Q)
2521, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤Q)
26 simp3 1055 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣 <Q 𝑧)
27 simp2r 1080 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)
28 ltrnq 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 <Q 𝑧 ↔ (*Q𝑧) <Q (*Q𝑣))
29 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (*Q𝑧) ∈ V
30 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (*Q𝑣) ∈ V
31 ltmnq 9650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑢 ·Q 𝑥) <Q (𝑢 ·Q 𝑦)))
32 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤 ∈ V
33 mulcomnq 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q 𝑥)
3429, 30, 31, 32, 33caovord2 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤Q → ((*Q𝑧) <Q (*Q𝑣) ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
3528, 34syl5bb 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤Q → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣Q𝑤Q) → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
3736biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣Q𝑤Q) → (𝑣 <Q 𝑧 → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
38 mulcomnq 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ·Q (*Q𝑣)) = ((*Q𝑣) ·Q 𝑣)
39 recidnq 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣Q → (𝑣 ·Q (*Q𝑣)) = 1Q)
4038, 39syl5eqr 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣Q → ((*Q𝑣) ·Q 𝑣) = 1Q)
41 recidnq 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤Q → (𝑤 ·Q (*Q𝑤)) = 1Q)
4240, 41oveqan12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣Q𝑤Q) → (((*Q𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑤))) = (1Q ·Q 1Q))
43 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑣 ∈ V
44 mulassnq 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ·Q 𝑦) ·Q 𝑢) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q 𝑢))
45 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (*Q𝑤) ∈ V
4630, 43, 32, 33, 44, 45caov4 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((*Q𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑤))) = (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤)))
47 mulidnq 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1QQ → (1Q ·Q 1Q) = 1Q)
485, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1Q ·Q 1Q) = 1Q
4942, 46, 483eqtr3g 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣Q𝑤Q) → (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤))) = 1Q)
50 recclnq 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣Q → (*Q𝑣) ∈ Q)
51 mulclnq 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((*Q𝑣) ∈ Q𝑤Q) → ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
5250, 51sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣Q𝑤Q) → ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
53 recmulnq 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q → ((*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ↔ (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤))) = 1Q))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣Q𝑤Q) → ((*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ↔ (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤))) = 1Q))
5549, 54mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣Q𝑤Q) → (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q𝑤)))
5655eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣Q𝑤Q) → ((*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴))
5756notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣Q𝑤Q) → (¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴))
5857biimprd 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣Q𝑤Q) → (¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴 → ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
5937, 58anim12d 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣Q𝑤Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) → (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
60 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ V
61 breq2 4581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
62 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → (*Q𝑦) = (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
6362eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → ((*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
6463notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
6561, 64anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
6660, 65spcev 3272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
67 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ V
68 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦))
6968anbi1d 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
7069exbidv 1836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
71 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
7267, 70, 71elab2 3322 . . . . . . . . . . . . . 14 (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
7366, 72sylibr 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
7459, 73syl6 34 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣Q𝑤Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵))
7574imp 443 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣Q𝑤Q) ∧ (𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
7620, 25, 26, 27, 75syl22anc 1318 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
7722brel 5079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 <Q 𝑧 → (𝑣Q𝑧Q))
7877simprd 477 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 <Q 𝑧𝑧Q)
79783ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑧Q)
80 mulcomnq 9631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ·Q 1Q) = (1Q ·Q 𝑤)
81 mulidnq 9641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
8280, 81syl5reqr 2658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤Q𝑤 = (1Q ·Q 𝑤))
83 mulassnq 9637 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ·Q (*Q𝑧)) ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤))
84 recidnq 9643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → (𝑧 ·Q (*Q𝑧)) = 1Q)
8584oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧Q → ((𝑧 ·Q (*Q𝑧)) ·Q 𝑤) = (1Q ·Q 𝑤))
8683, 85syl5reqr 2658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧Q → (1Q ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
8782, 86sylan9eqr 2665 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧Q𝑤Q) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
8879, 25, 87syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
89 oveq2 6534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑧 ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
9089eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥) ↔ 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤))))
9190rspcev 3281 . . . . . . . . . 10 ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤))) → ∃𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
9276, 88, 91syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ∃𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
93923expia 1258 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9493reximdv 2998 . . . . . . 7 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9571reclem2pr 9726 . . . . . . . . 9 (𝐴P𝐵P)
96 df-mp 9662 . . . . . . . . . 10 ·P = (𝑦P, 𝑤P ↦ {𝑢 ∣ ∃𝑓𝑦𝑔𝑤 𝑢 = (𝑓 ·Q 𝑔)})
97 mulclnq 9625 . . . . . . . . . 10 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 ·Q 𝑔) ∈ Q)
9896, 97genpelv 9678 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝐵P) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9995, 98mpdan 698 . . . . . . . 8 (𝐴P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
10099ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
10194, 100sylibrd 247 . . . . . 6 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
10217, 101mpd 15 . . . . 5 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
10315, 102rexlimddv 3016 . . . 4 ((𝐴P𝑤 <Q 1Q) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
104103ex 448 . . 3 (𝐴P → (𝑤 <Q 1Q𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
1052, 104syl5bi 230 . 2 (𝐴P → (𝑤 ∈ 1P𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
106105ssrdv 3573 1 (𝐴P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  {cab 2595  wrex 2896  wss 3539   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526  Qcnq 9530  1Qc1q 9531   ·Q cmq 9534  *Qcrq 9535   <Q cltq 9536  Pcnp 9537  1Pc1p 9538   ·P cmp 9540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ni 9550  df-pli 9551  df-mi 9552  df-lti 9553  df-plpq 9586  df-mpq 9587  df-ltpq 9588  df-enq 9589  df-nq 9590  df-erq 9591  df-plq 9592  df-mq 9593  df-1nq 9594  df-rq 9595  df-ltnq 9596  df-np 9659  df-1p 9660  df-mp 9662
This theorem is referenced by:  reclem4pr  9728
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