Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reclimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclimc 39276
Description: Limit of the reciprocal of a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
reclimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
reclimc.g 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
reclimc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
reclimc.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
reclimc.cne0 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
reclimc (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem reclimc
StepHypRef Expression
1 eqid 2626 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵))
2 eqid 2626 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
3 eqid 2626 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4 limccl 23540 . . . . . . 7 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
5 reclimc.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
64, 5sseldi 3586 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 reclimc.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
98eldifad 3572 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
107, 9subcld 10337 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
119, 7mulcld 10005 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12 eldifsni 4294 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ≠ 0)
138, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
14 reclimc.cne0 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ≠ 0)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
169, 7, 13, 15mulne0d 10624 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ≠ 0)
1716neneqd 2801 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) = 0)
18 elsng 4167 . . . . . . 7 ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
1911, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ {0} ↔ (𝐵 · 𝐶) = 0))
2017, 19mtbird 315 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ (𝐵 · 𝐶) ∈ {0})
2111, 20eldifd 3571 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
23 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐵)
24 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵))
259negcld 10324 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
26 reclimc.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2726, 9, 5limcmptdm 39258 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
28 limcrcl 23539 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
295, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
3029simp3d 1073 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3122, 27, 6, 30constlimc 39247 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝐶) lim 𝐷))
3226, 23, 9, 5neglimc 39270 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐶 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ -𝐵) lim 𝐷))
3322, 23, 24, 7, 25, 31, 32addlimc 39271 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) lim 𝐷))
346negidd 10327 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 + -𝐶) = 0)
357, 9negsubd 10343 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 + -𝐵) = (𝐶𝐵))
3635mpteq2dva 4709 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)))
3736oveq1d 6620 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + -𝐵)) lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)) lim 𝐷))
3833, 34, 373eltr3d 2718 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶𝐵)) lim 𝐷))
3926, 22, 2, 9, 7, 5, 31mullimc 39239 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) lim 𝐷))
406, 6, 14, 14mulne0d 10624 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≠ 0)
411, 2, 3, 10, 21, 38, 39, 400ellimcdiv 39272 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) lim 𝐷))
42 1cnd 10001 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4342, 9, 42, 7, 13, 15divsubdivd 10791 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)) = (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)))
447mulid2d 10003 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
459mulid2d 10003 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
4644, 45oveq12d 6623 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) = (𝐶𝐵))
4746oveq1d 6620 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((1 · 𝐶) − (1 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶)))
4843, 47eqtr2d 2661 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶)) = ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
4948mpteq2dva 4709 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))))
5049oveq1d 6620 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝐶𝐵) / (𝐵 · 𝐶))) lim 𝐷) = ((𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) lim 𝐷))
5141, 50eleqtrd 2706 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) lim 𝐷))
52 reclimc.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐵))
53 eqid 2626 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶)))
549, 13reccld 10739 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
556, 14reccld 10739 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
5652, 53, 27, 54, 30, 55ellimcabssub0 39240 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ 0 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ ((1 / 𝐵) − (1 / 𝐶))) lim 𝐷)))
5751, 56mpbird 247 1 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cdif 3557  wss 3560  {csn 4153  cmpt 4678  dom cdm 5079  wf 5846  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  cmin 10211  -cneg 10212   / cdiv 10629   lim climc 23527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-rest 15999  df-topn 16000  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cnp 20937  df-xms 22030  df-ms 22031  df-limc 23531
This theorem is referenced by:  divlimc  39279  fourierdlem62  39679
  Copyright terms: Public domain W3C validator