Theorem reclt1 10767

Description: The reciprocal of a positive number less than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reclt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))

Proof of Theorem reclt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9895	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0lt1 10399	. . 3 ⊢ 0 < 1
3		ltrec 10754	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (𝐴 < 1 ↔ (1 / 1) < (1 / 𝐴)))
4	1, 2, 3	mpanr12 716	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < 1 ↔ (1 / 1) < (1 / 𝐴)))
5		1div1e1 10566	. . 3 ⊢ (1 / 1) = 1
6	5	breq1i 4584	. 2 ⊢ ((1 / 1) < (1 / 𝐴) ↔ 1 < (1 / 𝐴))
7	4, 6	syl6bb 274	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   ∈ wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  ℝcr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   < clt 9930   / cdiv 10533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534

This theorem is referenced by:  reclt1d  11717  reeff1o  23922