Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  recnnltrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recnnltrp 39092
Description: 𝑁 is a natural number large enough that its reciprocal is smaller than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
recnnltrp.1 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
Assertion
Ref Expression
recnnltrp (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Proof of Theorem recnnltrp
StepHypRef Expression
1 recnnltrp.1 . . 3 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
2 rpreccl 11817 . . . . . 6 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
32rpred 11832 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
42rpge0d 11836 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐸))
5 flge0nn0 12577 . . . . 5 (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐸)) → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
63, 4, 5syl2anc 692 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
7 nn0p1nn 11292 . . . 4 ((⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
91, 8syl5eqel 2702 . 2 (𝐸 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ)
10 flltp1 12557 . . . . . 6 ((1 / 𝐸) ∈ ℝ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
113, 10syl 17 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
1211, 1syl6breqr 4665 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < 𝑁)
139nnrpd 11830 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+)
142, 13ltrecd 11850 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐸) < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸))))
1512, 14mpbid 222 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸)))
16 rpcn 11801 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℂ)
17 rpne0 11808 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ≠ 0)
1816, 17recrecd 10758 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐸)) = 𝐸)
1915, 18breqtrd 4649 . 2 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < 𝐸)
209, 19jca 554 1 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034  cle 10035   / cdiv 10644  cn 10980  0cn0 11252  +crp 11792  cfl 12547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fl 12549
This theorem is referenced by:  vonioolem1  40231
  Copyright terms: Public domain W3C validator