Theorem reconn 23430

Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reconn	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem reconn

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reconnlem1 23428	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2	1	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
3	2	ex 415	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
4		n0 4309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
5		n0 4309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
6	4, 5	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
7		exdistrv 1952	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏∃𝑐(𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)))
8		simplll 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
9		simprll 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
10	9	elin2d 4175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
11	8, 10	sseldd 3967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ ℝ)
12		simprlr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
13	12	elin2d 4175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ 𝐴)
14	8, 13	sseldd 3967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ ℝ)
15	8	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
17	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
18		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
20		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
21	9	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
22	12	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
23		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
24		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → 𝑏 ≤ 𝑐)
25		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < ) = sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < )
26	15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	reconnlem2 23429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏 ≤ 𝑐) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
27	8	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
29	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
30		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
31	12	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴))
32	9	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴))
33		incom 4177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∩ 𝑢) = (𝑢 ∩ 𝑣)
34		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
35	33, 34	eqsstrid 4014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → (𝑣 ∩ 𝑢) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
36		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → 𝑐 ≤ 𝑏)
37		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < ) = sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < )
38	27, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37	reconnlem2 23429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢))
39		uncom 4128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∪ 𝑢) = (𝑢 ∪ 𝑣)
40	39	sseq2i 3995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
41	38, 40	sylnib 330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐 ≤ 𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
42	11, 14, 26, 41	lecasei 10740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
43	42	exp32 423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
44	43	exlimdvv 1931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (∃𝑏∃𝑐(𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
45	7, 44	syl5bir 245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢 ∩ 𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣 ∩ 𝐴)) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
46	6, 45	syl5bi 244	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅) → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
47	46	expd 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ → ((𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))))
48	47	3impd 1344	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
49	48	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → (((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
50	49	ralrimdvva 3194	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
51		retopon 23366	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
52		connsub 22023	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
53	51, 52	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
54	50, 53	sylibrd 261	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn))
55	3, 54	impbid 214	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ∖ cdif 3932   ∪ cun 3933   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290   class class class wbr 5058  ran crn 5550  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  supcsup 8898  ℝcr 10530   < clt 10669   ≤ cle 10670  (,)cioo 12732  [,]cicc 12735   ↾_t crest 16688  topGenctg 16705  TopOnctopon 21512  Conncconn 22013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-rest 16690  df-topgen 16711  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-cld 21621  df-conn 22014

This theorem is referenced by:  retopconn  23431  iccconn  23432  resconn  32488  ioosconn  32489  iccllysconn  32492  ivthALT  33678