MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recosval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recosval 14860
Description: The cosine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
recosval (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Proof of Theorem recosval
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9992 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
2 recn 10023 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 cjmul 13876 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
41, 2, 3sylancr 695 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
5 cji 13893 . . . . . . . . 9 (∗‘i) = -i
65oveq1i 6657 . . . . . . . 8 ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · (∗‘𝐴))
7 cjre 13873 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
87oveq2d 6663 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (-i · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
96, 8syl5eq 2667 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
104, 9eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = (-i · 𝐴))
1110fveq2d 6193 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
12 mulcl 10017 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
131, 2, 12sylancr 695 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14 efcj 14816 . . . . . 6 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
1611, 15eqtr3d 2657 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(-i · 𝐴)) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
1716oveq2d 6663 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))))
1817oveq1d 6662 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / 2))
19 cosval 14847 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
202, 19syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
21 efcl 14807 . . 3 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
22 reval 13840 . . 3 ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / 2))
2313, 21, 223syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / 2))
2418, 20, 233eqtr4d 2665 1 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  cfv 5886  (class class class)co 6647  cc 9931  cr 9932  ici 9935   + caddc 9936   · cmul 9938  -cneg 10264   / cdiv 10681  2c2 11067  ccj 13830  cre 13831  expce 14786  cosccos 14789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-ico 12178  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fac 13056  df-hash 13113  df-shft 13801  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-limsup 14196  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-ef 14792  df-cos 14795
This theorem is referenced by:  recos4p  14863  recoscl  14865  cos0  14874  argregt0  24350  argrege0  24351  lawcos  24540
  Copyright terms: Public domain W3C validator