MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recreclt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recreclt 10768
Description: Given a positive number 𝐴, construct a new positive number less than both 𝐴 and 1. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
recreclt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1 ∧ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))

Proof of Theorem recreclt
StepHypRef Expression
1 recgt0 10713 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
2 gt0ne0 10339 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3 rereccl 10589 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
42, 3syldan 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
5 1re 9892 . . . . 5 1 ∈ ℝ
6 ltaddpos 10364 . . . . 5 (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 < (1 + (1 / 𝐴))))
74, 5, 6sylancl 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 < (1 + (1 / 𝐴))))
81, 7mpbid 220 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 1 < (1 + (1 / 𝐴)))
9 readdcl 9872 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
105, 4, 9sylancr 693 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
11 0lt1 10396 . . . . . 6 0 < 1
12 0re 9893 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
13 lttr 9962 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (1 + (1 / 𝐴))) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
1412, 5, 13mp3an12 1405 . . . . . . 7 ((1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < (1 + (1 / 𝐴))) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
1510, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((0 < 1 ∧ 1 < (1 + (1 / 𝐴))) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
1611, 15mpani 707 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < (1 + (1 / 𝐴)) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
178, 16mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 + (1 / 𝐴)))
18 recgt1 10765 . . . 4 (((1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (1 / 𝐴))) → (1 < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1))
1910, 17, 18syl2anc 690 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1))
208, 19mpbid 220 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1)
21 ltaddpos 10364 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ (1 / 𝐴) < ((1 / 𝐴) + 1)))
225, 4, 21sylancr 693 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 1 ↔ (1 / 𝐴) < ((1 / 𝐴) + 1)))
2311, 22mpbii 221 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < ((1 / 𝐴) + 1))
244recnd 9921 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
25 ax-1cn 9847 . . . . 5 1 ∈ ℂ
26 addcom 10070 . . . . 5 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴) + 1) = (1 + (1 / 𝐴)))
2724, 25, 26sylancl 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) + 1) = (1 + (1 / 𝐴)))
2823, 27breqtrd 4600 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < (1 + (1 / 𝐴)))
29 simpl 471 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
30 simpr 475 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
31 ltrec1 10756 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (1 / 𝐴)))) → ((1 / 𝐴) < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))
3229, 30, 10, 17, 31syl22anc 1318 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))
3328, 32mpbid 220 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴)
3420, 33jca 552 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1 ∧ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776   class class class wbr 4574  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   < clt 9927   / cdiv 10530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator