Theorem recreclt 11542

Description: Given a positive number 𝐴, construct a new positive number less than both 𝐴 and 1. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recreclt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1 ∧ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))

Proof of Theorem recreclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recgt0 11489	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
2		gt0ne0 11108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 11361	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	2, 3	syldan 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
5		1re 10644	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltaddpos 11133	. . . . 5 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 < (1 + (1 / 𝐴))))
7	4, 5, 6	sylancl 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 < (1 + (1 / 𝐴))))
8	1, 7	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 1 < (1 + (1 / 𝐴)))
9		readdcl 10623	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
10	5, 4, 9	sylancr 589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
11		0lt1 11165	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
12		0re 10646	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		lttr 10720	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (1 + (1 / 𝐴))) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
14	12, 5, 10, 13	mp3an12i 1461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((0 < 1 ∧ 1 < (1 + (1 / 𝐴))) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
15	11, 14	mpani 694	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < (1 + (1 / 𝐴)) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
16	8, 15	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 + (1 / 𝐴)))
17		recgt1 11539	. . . 4 ⊢ (((1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (1 / 𝐴))) → (1 < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1))
18	10, 16, 17	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1))
19	8, 18	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1)
20		ltaddpos 11133	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ (1 / 𝐴) < ((1 / 𝐴) + 1)))
21	5, 4, 20	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 1 ↔ (1 / 𝐴) < ((1 / 𝐴) + 1)))
22	11, 21	mpbii 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < ((1 / 𝐴) + 1))
23	4	recnd 10672	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
24		ax-1cn 10598	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		addcom 10829	. . . . 5 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴) + 1) = (1 + (1 / 𝐴)))
26	23, 24, 25	sylancl 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) + 1) = (1 + (1 / 𝐴)))
27	22, 26	breqtrd 5095	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < (1 + (1 / 𝐴)))
28		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
30		ltrec1 11530	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (1 / 𝐴)))) → ((1 / 𝐴) < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))
31	28, 29, 10, 16, 30	syl22anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))
32	27, 31	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴)
33	19, 32	jca 514	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1 ∧ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   < clt 10678   / cdiv 11300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301

This theorem is referenced by: (None)